Theorem lmreltop 12365

Description: The topological space convergence relation is a relation. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
lmreltop	|- ( J e. Top -> Rel ( ~~> t ` J ) )

Proof of Theorem lmreltop

Dummy variables f u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopab 4666	. 2 |- Rel { <. f , x >. | ( f e. ( U. J ^pm CC ) /\ x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) }
2		toptopon2 12189	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
3		lmfval 12364	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( U. J ^pm CC ) /\ x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
4	2, 3	sylbi 120	. . 3 |- ( J e. Top -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( U. J ^pm CC ) /\ x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
5	4	releqd 4623	. 2 |- ( J e. Top -> ( Rel ( ~~> t ` J ) <-> Rel { <. f , x >. | ( f e. ( U. J ^pm CC ) /\ x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } ) )
6	1, 5	mpbiri 167	1 |- ( J e. Top -> Rel ( ~~> t ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   U.cuni 3736   {copab 3988   ran crn 4540   |` cres 4541   Rel wrel 4544   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ^pm cpm 6543   CCcc 7621   ZZ>=cuz 9329   Topctop 12167  TopOnctopon 12180   ~~> tclm 12359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-cnex 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pm 6545  df-top 12168  df-topon 12181  df-lm 12362

This theorem is referenced by: (None)