Theorem lmreltop 12362

Description: The topological space convergence relation is a relation. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
lmreltop	⊢ (𝐽 ∈ Top → Rel (⇝𝑡‘𝐽))

Proof of Theorem lmreltop

Dummy variables 𝑓 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopab 4666	. 2 ⊢ Rel {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ (𝑓 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢))}
2		toptopon2 12186	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
3		lmfval 12361	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (⇝𝑡‘𝐽) = {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ (𝑓 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢))})
4	2, 3	sylbi 120	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (⇝𝑡‘𝐽) = {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ (𝑓 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢))})
5	4	releqd 4623	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (Rel (⇝𝑡‘𝐽) ↔ Rel {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ (𝑓 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢))}))
6	1, 5	mpbiri 167	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → Rel (⇝𝑡‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  ∪ cuni 3736  {copab 3988  ran crn 4540   ↾ cres 4541  Rel wrel 4544  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ↑_pm cpm 6543  ℂcc 7618  ℤ_≥cuz 9326  Topctop 12164  TopOnctopon 12177  ⇝_𝑡clm 12356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-cnex 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pm 6545  df-top 12165  df-topon 12178  df-lm 12359

This theorem is referenced by: (None)