ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltadd2i Unicode version

Theorem ltadd2i 7489
Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Hypotheses
Ref Expression
ltadd2i.1  |-  A  e.  RR
ltadd2i.2  |-  B  e.  RR
ltadd2i.3  |-  C  e.  RR
Assertion
Ref Expression
ltadd2i  |-  ( A  <  B  <->  ( C  +  A )  <  ( C  +  B )
)

Proof of Theorem ltadd2i
StepHypRef Expression
1 ltadd2i.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 ltadd2i.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 ltadd2i.3 . 2  |-  C  e.  RR
4 ltadd2 7488 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( C  +  A )  <  ( C  +  B )
) )
51, 2, 3, 4mp3an 1243 1  |-  ( A  <  B  <->  ( C  +  A )  <  ( C  +  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 102    e. wcel 1409   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540   RRcr 6946    + caddc 6950    < clt 7119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-xp 4379  df-iota 4895  df-fv 4938  df-ov 5543  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-ltxr 7124
This theorem is referenced by:  numlt  8451
  Copyright terms: Public domain W3C validator