Theorem mapsnf1o2 6590

Description: Explicit bijection between a set and its singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	|- S = { X }
mapsncnv.b	|- B e. _V
mapsncnv.x	|- X e. _V
mapsncnv.f	|- F = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o2	|- F : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B

Distinct variable groups:   x, B   x, S

Allowed substitution hints:   F( x)   X( x)

Proof of Theorem mapsnf1o2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2689	. . . 4 |- x e. _V
2		mapsncnv.x	. . . 4 |- X e. _V
3	1, 2	fvex 5441	. . 3 |- ( x ` X ) e. _V
4		mapsncnv.f	. . 3 |- F = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )
5	3, 4	fnmpti 5251	. 2 |- F Fn ( B ^m S )
6		mapsncnv.s	. . . . 5 |- S = { X }
7	2	snex 4109	. . . . 5 |- { X } e. _V
8	6, 7	eqeltri 2212	. . . 4 |- S e. _V
9		vex 2689	. . . . 5 |- y e. _V
10	9	snex 4109	. . . 4 |- { y } e. _V
11	8, 10	xpex 4654	. . 3 |- ( S X. { y } ) e. _V
12		mapsncnv.b	. . . 4 |- B e. _V
13	6, 12, 2, 4	mapsncnv 6589	. . 3 |- `' F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )
14	11, 13	fnmpti 5251	. 2 |- `' F Fn B
15		dff1o4 5375	. 2 |- ( F : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B <-> ( F Fn ( B ^m S ) /\ `' F Fn B ) )
16	5, 14, 15	mpbir2an 926	1 |- F : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   {csn 3527   |-> cmpt 3989   X. cxp 4537   `'ccnv 4538   Fn wfn 5118   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ^m cmap 6542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-map 6544

This theorem is referenced by:  mapsnf1o3  6591