Theorem mptfng 5248

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by Scott Fenton, 21-Mar-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
mptfng	|- ( A. x e. A B e. _V <-> F Fn A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem mptfng

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eueq 2855	. . 3 |- ( B e. _V <-> E! y y = B )
2	1	ralbii 2441	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V <-> A. x e. A E! y y = B )
3		mptfng.1	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> B )
4		df-mpt 3991	. . . 4 |- ( x e. A |-> B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) }
5	3, 4	eqtri 2160	. . 3 |- F = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) }
6	5	fnopabg 5246	. 2 |- ( A. x e. A E! y y = B <-> F Fn A )
7	2, 6	bitri 183	1 |- ( A. x e. A B e. _V <-> F Fn A )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   E!weu 1999   A.wral 2416   _Vcvv 2686   {copab 3988   |-> cmpt 3989   Fn wfn 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-fun 5125  df-fn 5126

This theorem is referenced by:  fnmpt  5249  fnmpti  5251  mpteqb  5511