ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opm Unicode version

Theorem opm 3999
Description: An ordered pair is inhabited iff the arguments are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
opm  |-  ( E. x  x  e.  <. A ,  B >.  <->  ( A  e.  _V  /\  B  e. 
_V ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem opm
StepHypRef Expression
1 df-op 3412 . . . . 5  |-  <. A ,  B >.  =  { x  |  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) }
21eleq2i 2120 . . . 4  |-  ( x  e.  <. A ,  B >.  <-> 
x  e.  { x  |  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) } )
32exbii 1512 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  <. A ,  B >.  <->  E. x  x  e.  { x  |  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) } )
4 abid 2044 . . . 4  |-  ( x  e.  { x  |  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) }  <->  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
54exbii 1512 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  {
x  |  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e. 
{ { A } ,  { A ,  B } } ) }  <->  E. x
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
63, 5bitri 177 . 2  |-  ( E. x  x  e.  <. A ,  B >.  <->  E. x
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
7 19.42v 1802 . . 3  |-  ( E. x ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <->  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
8 df-3an 898 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <->  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
98exbii 1512 . . 3  |-  ( E. x ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <->  E. x
( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
10 df-3an 898 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <-> 
( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
117, 9, 103bitr4ri 206 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <->  E. x ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
12 3simpa 912 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  ->  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V ) )
13 id 19 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
14 snexgOLD 3963 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  { A }  e.  _V )
1514adantr 265 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { A }  e.  _V )
16 prmg 3517 . . . . 5  |-  ( { A }  e.  _V  ->  E. x  x  e. 
{ { A } ,  { A ,  B } } )
1715, 16syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  E. x  x  e. 
{ { A } ,  { A ,  B } } )
1813, 17, 10sylanbrc 402 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
1912, 18impbii 121 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <-> 
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
206, 11, 193bitr2i 201 1  |-  ( E. x  x  e.  <. A ,  B >.  <->  ( A  e.  _V  /\  B  e. 
_V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896   E.wex 1397    e. wcel 1409   {cab 2042   _Vcvv 2574   {csn 3403   {cpr 3404   <.cop 3406
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412
This theorem is referenced by:  opnzi  4000  opeqex  4014
  Copyright terms: Public domain W3C validator