Theorem opnzi 4157

Description: An ordered pair is nonempty if the arguments are sets (it is also inhabited; see opm 4156). (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opth1.1	|- A e. _V
opth1.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
opnzi	|- <. A , B >. =/= (/)

Proof of Theorem opnzi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opth1.1	. . 3 |- A e. _V
2		opth1.2	. . 3 |- B e. _V
3		opm 4156	. . 3 |- ( E. x x e. <. A , B >. <-> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 926	. 2 |- E. x x e. <. A , B >.
5		n0r 3376	. 2 |- ( E. x x e. <. A , B >. -> <. A , B >. =/= (/) )
6	4, 5	ax-mp 5	1 |- <. A , B >. =/= (/)

Syntax hints:   E.wex 1468   e. wcel 1480   =/= wne 2308   _Vcvv 2686   (/)c0 3363   <.cop 3530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536

This theorem is referenced by:  0nelxp  4567  0neqopab  5816