ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oprab2co Unicode version

Theorem oprab2co 5890
Description: Composition of operator abstractions. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by David Abernethy, 23-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
oprab2co.1  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  C  e.  R )
oprab2co.2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  D  e.  S )
oprab2co.3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |-> 
<. C ,  D >. )
oprab2co.4  |-  G  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  ( C M D ) )
Assertion
Ref Expression
oprab2co  |-  ( M  Fn  ( R  X.  S )  ->  G  =  ( M  o.  F ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, M, y    x, R, y   
x, S, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    D( x, y)    F( x, y)    G( x, y)

Proof of Theorem oprab2co
StepHypRef Expression
1 oprab2co.1 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  C  e.  R )
2 oprab2co.2 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  D  e.  S )
3 opelxpi 4422 . . 3  |-  ( ( C  e.  R  /\  D  e.  S )  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( R  X.  S
) )
41, 2, 3syl2anc 403 . 2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( R  X.  S
) )
5 oprab2co.3 . 2  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |-> 
<. C ,  D >. )
6 oprab2co.4 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  ( C M D ) )
7 df-ov 5566 . . . . 5  |-  ( C M D )  =  ( M `  <. C ,  D >. )
87a1i 9 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( C M D )  =  ( M `
 <. C ,  D >. ) )
98mpt2eq3ia 5621 . . 3  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  ( C M D ) )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  ( M `  <. C ,  D >. ) )
106, 9eqtri 2103 . 2  |-  G  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  ( M `  <. C ,  D >. )
)
114, 5, 10oprabco 5889 1  |-  ( M  Fn  ( R  X.  S )  ->  G  =  ( M  o.  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   <.cop 3419    X. cxp 4389    o. ccom 4395    Fn wfn 4947   ` cfv 4952  (class class class)co 5563    |-> cmpt2 5565
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator