Theorem prodge02 8613

Description: Infer that a multiplier is nonnegative from a positive multiplicand and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
prodge02	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < B /\ 0 <_ ( A x. B ) ) ) -> 0 <_ A )

Proof of Theorem prodge02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7753	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 7753	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		mulcom 7749	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
5	4	breq2d 3941	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A x. B ) <-> 0 <_ ( B x. A ) ) )
6	5	biimpd 143	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A x. B ) -> 0 <_ ( B x. A ) ) )
7		prodge0 8612	. . . . 5 |- ( ( ( B e. RR /\ A e. RR ) /\ ( 0 < B /\ 0 <_ ( B x. A ) ) ) -> 0 <_ A )
8	7	ex 114	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < B /\ 0 <_ ( B x. A ) ) -> 0 <_ A ) )
9	8	ancoms 266	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 < B /\ 0 <_ ( B x. A ) ) -> 0 <_ A ) )
10	6, 9	sylan2d 292	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 < B /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> 0 <_ A ) )
11	10	imp 123	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < B /\ 0 <_ ( A x. B ) ) ) -> 0 <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   x. cmul 7625   < clt 7800   <_ cle 7801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936

This theorem is referenced by: (None)