Theorem resqrex 10805

Description: Existence of a square root for positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resqrex	|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem resqrex

Dummy variables a b y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . . 6 |- ( y = a -> y = a )
2		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( y = a -> ( A / y ) = ( A / a ) )
3	1, 2	oveq12d 5792	. . . . 5 |- ( y = a -> ( y + ( A / y ) ) = ( a + ( A / a ) ) )
4	3	oveq1d 5789	. . . 4 |- ( y = a -> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) = ( ( a + ( A / a ) ) / 2 ) )
5		eqidd 2140	. . . 4 |- ( z = b -> ( ( a + ( A / a ) ) / 2 ) = ( ( a + ( A / a ) ) / 2 ) )
6	4, 5	cbvmpov 5851	. . 3 |- ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) = ( a e. RR+ , b e. RR+ |-> ( ( a + ( A / a ) ) / 2 ) )
7		seqeq2 10229	. . 3 |- ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) = ( a e. RR+ , b e. RR+ |-> ( ( a + ( A / a ) ) / 2 ) ) -> seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ) = seq 1 ( ( a e. RR+ , b e. RR+ |-> ( ( a + ( A / a ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 |- seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ) = seq 1 ( ( a e. RR+ , b e. RR+ |-> ( ( a + ( A / a ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
9		simpl 108	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A e. RR )
10		simpr 109	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ A )
11	8, 9, 10	resqrexlemex 10804	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   {csn 3527   class class class wbr 3929   X. cxp 4537  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776   RRcr 7626   0cc0 7627   1c1 7628   + caddc 7630   <_ cle 7808   / cdiv 8439   NNcn 8727   2c2 8778   RR+crp 9448   seqcseq 10225   ^cexp 10299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449  df-seqfrec 10226  df-exp 10300

This theorem is referenced by:  rersqreu  10807  resqrtcl  10808