ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrex Unicode version

Theorem resqrex 10050
Description: Existence of a square root for positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
resqrex  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem resqrex
Dummy variables  a  b  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . . 6  |-  ( y  =  a  ->  y  =  a )
2 oveq2 5551 . . . . . 6  |-  ( y  =  a  ->  ( A  /  y )  =  ( A  /  a
) )
31, 2oveq12d 5561 . . . . 5  |-  ( y  =  a  ->  (
y  +  ( A  /  y ) )  =  ( a  +  ( A  /  a
) ) )
43oveq1d 5558 . . . 4  |-  ( y  =  a  ->  (
( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 )  =  ( ( a  +  ( A  / 
a ) )  / 
2 ) )
5 eqidd 2083 . . . 4  |-  ( z  =  b  ->  (
( a  +  ( A  /  a ) )  /  2 )  =  ( ( a  +  ( A  / 
a ) )  / 
2 ) )
64, 5cbvmpt2v 5615 . . 3  |-  ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  / 
y ) )  / 
2 ) )  =  ( a  e.  RR+ ,  b  e.  RR+  |->  ( ( a  +  ( A  /  a ) )  /  2 ) )
7 iseqeq2 9525 . . 3  |-  ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) )  =  ( a  e.  RR+ ,  b  e.  RR+  |->  ( ( a  +  ( A  /  a
) )  /  2
) )  ->  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  / 
y ) )  / 
2 ) ) ,  ( NN  X.  {
( 1  +  A
) } ) , 
RR+ )  =  seq 1 ( ( a  e.  RR+ ,  b  e.  RR+  |->  ( ( a  +  ( A  / 
a ) )  / 
2 ) ) ,  ( NN  X.  {
( 1  +  A
) } ) , 
RR+ ) )
86, 7ax-mp 7 . 2  |-  seq 1
( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y
) )  /  2
) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )  =  seq 1
( ( a  e.  RR+ ,  b  e.  RR+  |->  ( ( a  +  ( A  /  a
) )  /  2
) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
9 simpl 107 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  RR )
10 simpr 108 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
0  <_  A )
118, 9, 10resqrexlemex 10049 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2350   {csn 3406   class class class wbr 3793    X. cxp 4369  (class class class)co 5543    |-> cmpt2 5545   RRcr 7042   0cc0 7043   1c1 7044    + caddc 7046    <_ cle 7216    / cdiv 7827   NNcn 8106   2c2 8156   RR+crp 8815    seqcseq 9521   ^cexp 9572
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156  ax-arch 7157  ax-caucvg 7158
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-2 8165  df-3 8166  df-4 8167  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-rp 8816  df-iseq 9522  df-iexp 9573
This theorem is referenced by:  rersqreu  10052  resqrtcl  10053
  Copyright terms: Public domain W3C validator