Theorem restabs 12344

Description: Equivalence of being a subspace of a subspace and being a subspace of the original. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restabs	|- ( ( J e. V /\ S C_ T /\ T e. W ) -> ( ( J ↾t T ) ↾t S ) = ( J ↾t S ) )

Proof of Theorem restabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 981	. . 3 |- ( ( J e. V /\ S C_ T /\ T e. W ) -> J e. V )
2		simp3 983	. . 3 |- ( ( J e. V /\ S C_ T /\ T e. W ) -> T e. W )
3		ssexg 4067	. . . 4 |- ( ( S C_ T /\ T e. W ) -> S e. _V )
4	3	3adant1 999	. . 3 |- ( ( J e. V /\ S C_ T /\ T e. W ) -> S e. _V )
5		restco 12343	. . 3 |- ( ( J e. V /\ T e. W /\ S e. _V ) -> ( ( J ↾t T ) ↾t S ) = ( J ↾t ( T i^i S ) ) )
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1216	. 2 |- ( ( J e. V /\ S C_ T /\ T e. W ) -> ( ( J ↾t T ) ↾t S ) = ( J ↾t ( T i^i S ) ) )
7		simp2 982	. . . 4 |- ( ( J e. V /\ S C_ T /\ T e. W ) -> S C_ T )
8		sseqin2 3295	. . . 4 |- ( S C_ T <-> ( T i^i S ) = S )
9	7, 8	sylib 121	. . 3 |- ( ( J e. V /\ S C_ T /\ T e. W ) -> ( T i^i S ) = S )
10	9	oveq2d 5790	. 2 |- ( ( J e. V /\ S C_ T /\ T e. W ) -> ( J ↾t ( T i^i S ) ) = ( J ↾t S ) )
11	6, 10	eqtrd 2172	1 |- ( ( J e. V /\ S C_ T /\ T e. W ) -> ( ( J ↾t T ) ↾t S ) = ( J ↾t S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   i^i cin 3070   C_ wss 3071  (class class class)co 5774   ↾_t crest 12120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-rest 12122

This theorem is referenced by:  rerestcntop  12719