Theorem resttop 12339

Description: A subspace topology is a topology. Definition of subspace topology in [Munkres] p. 89. A is normally a subset of the base set of J. (Contributed by FL, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
resttop	|- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )

Proof of Theorem resttop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgrest 12338	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` ( J ↾t A ) ) = ( ( topGen ` J ) ↾t A ) )
2		tgtop 12237	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )
3	2	adantr 274	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` J ) = J )
4	3	oveq1d 5789	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( ( topGen ` J ) ↾t A ) = ( J ↾t A ) )
5	1, 4	eqtrd 2172	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` ( J ↾t A ) ) = ( J ↾t A ) )
6		topbas 12236	. . . 4 |- ( J e. Top -> J e. TopBases )
7		restbasg 12337	. . . 4 |- ( ( J e. TopBases /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. TopBases )
8	6, 7	sylan 281	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. TopBases )
9		tgcl 12233	. . 3 |- ( ( J ↾t A ) e. TopBases -> ( topGen ` ( J ↾t A ) ) e. Top )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` ( J ↾t A ) ) e. Top )
11	5, 10	eqeltrrd 2217	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ↾_t crest 12120   topGenctg 12135   Topctop 12164   TopBasesctb 12209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-rest 12122  df-topgen 12141  df-top 12165  df-bases 12210

This theorem is referenced by:  resttopon  12340  resttopon2  12347  rest0  12348  cnptoprest2  12409  limccnp2lem  12814  limccnp2cntop  12815  reldvg  12817  dvbss  12823  dvcnp2cntop  12832