Theorem dvcnp2cntop 12832

Description: A function is continuous at each point for which it is differentiable. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcnp.j	|- J = ( K ↾t A )
dvcnpcntop.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )

Assertion

Ref	Expression
dvcnp2cntop	|- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B e. dom ( S _D F ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Proof of Theorem dvcnp2cntop

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcnpcntop.k	. . . . 5 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
2		dvcnp.j	. . . . 5 |- J = ( K ↾t A )
3		simpl3 986	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> A C_ S )
4		simpl1 984	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> S C_ CC )
5	3, 4	sstrd 3107	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> A C_ CC )
6		simpl2 985	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> F : A --> CC )
7	1	cntoptop 12702	. . . . . . . 8 |- K e. Top
8		cnex 7744	. . . . . . . . 9 |- CC e. _V
9		ssexg 4067	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
10	4, 8, 9	sylancl 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> S e. _V )
11		resttop 12339	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Top /\ S e. _V ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
12	7, 10, 11	sylancr 410	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
13	1	cntoptopon 12701	. . . . . . . . . 10 |- K e. (TopOn ` CC )
14		resttopon 12340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
15	13, 4, 14	sylancr 410	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
16		toponuni 12182	. . . . . . . . 9 |- ( ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
18	3, 17	sseqtrd 3135	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> A C_ U. ( K ↾t S ) )
19		eqid 2139	. . . . . . . 8 |- U. ( K ↾t S ) = U. ( K ↾t S )
20	19	ntrss2 12290	. . . . . . 7 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ A C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
21	12, 18, 20	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
22		eqid 2139	. . . . . . . 8 |- ( K ↾t S ) = ( K ↾t S )
23		eqid 2139	. . . . . . . 8 |- ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) )
24		simp1 981	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> S C_ CC )
25		simp2 982	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> F : A --> CC )
26		simp3 983	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> A C_ S )
27	22, 1, 23, 24, 25, 26	eldvap 12820	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( B ( S _D F ) y <-> ( B e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) /\ y e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) ) lim CC B ) ) ) )
28	27	simprbda 380	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> B e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) )
29	21, 28	sseldd 3098	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> B e. A )
30	6	ffvelrnda 5555	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
31	6, 29	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( F ` B ) e. CC )
32	31	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( F ` B ) e. CC )
33	30, 32	subcld 8073	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) e. CC )
34		ssid 3117	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
35	34	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> CC C_ CC )
36		txtopon 12431	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ K e. (TopOn ` CC ) ) -> ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
37	13, 13, 36	mp2an 422	. . . . . . . 8 |- ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
38	37	toponrestid 12188	. . . . . . 7 |- ( K tX K ) = ( ( K tX K ) ↾t ( CC X. CC ) )
39	6, 5, 29	dvlemap 12818	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) e. CC )
40		ssrab2 3182	. . . . . . . . . . . . 13 |- { w e. A | w # B } C_ A
41	40, 5	sstrid 3108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> { w e. A | w # B } C_ CC )
42	41	sselda 3097	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> z e. CC )
43	5, 29	sseldd 3098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> B e. CC )
44	43	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> B e. CC )
45	42, 44	subcld 8073	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( z - B ) e. CC )
46	27	simplbda 381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> y e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) ) lim CC B ) )
47		limcresi 12804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) C_ ( ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` { w e. A | w # B } ) lim CC B )
48		resmpt 4867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { w e. A | w # B } C_ A -> ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` { w e. A | w # B } ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) ) )
49	40, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` { w e. A | w # B } ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) )
50	49	oveq1i 5784	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` { w e. A | w # B } ) lim CC B ) = ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) ) lim CC B )
51	47, 50	sseqtri 3131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) C_ ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) ) lim CC B )
52	43	subidd 8061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( B - B ) = 0 )
53	1	subcncntop 12722	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- - e. ( ( K tX K ) Cn K )
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> - e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
55		cncfmptid 12752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. A |-> z ) e. ( A -cn-> CC ) )
56	5, 34, 55	sylancl 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> z ) e. ( A -cn-> CC ) )
57		cncfmptc 12751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. CC /\ A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. A |-> B ) e. ( A -cn-> CC ) )
58	43, 5, 35, 57	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> B ) e. ( A -cn-> CC ) )
59	1, 54, 56, 58	cncfmpt2fcntop 12754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( z - B ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
60		oveq1 5781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = B -> ( z - B ) = ( B - B ) )
61	59, 29, 60	cnmptlimc 12812	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( B - B ) e. ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) )
62	52, 61	eqeltrrd 2217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) )
63	51, 62	sseldi 3095	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) ) lim CC B ) )
64	1	mulcncntop 12723	. . . . . . . . . . 11 |- x. e. ( ( K tX K ) Cn K )
65	24, 25, 26	dvcl 12821	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> y e. CC )
66		0cn 7758	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. CC
67		opelxpi 4571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CC /\ 0 e. CC ) -> <. y , 0 >. e. ( CC X. CC ) )
68	65, 66, 67	sylancl 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> <. y , 0 >. e. ( CC X. CC ) )
69	37	toponunii 12184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( CC X. CC ) = U. ( K tX K )
70	69	cncnpi 12397	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x. e. ( ( K tX K ) Cn K ) /\ <. y , 0 >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. y , 0 >. ) )
71	64, 68, 70	sylancr 410	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> x. e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. y , 0 >. ) )
72	39, 45, 35, 35, 1, 38, 46, 63, 71	limccnp2cntop 12815	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( y x. 0 ) e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) ) lim CC B ) )
73	65	mul01d 8155	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( y x. 0 ) = 0 )
74	6	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> F : A --> CC )
75		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> z e. { w e. A | w # B } )
76	40, 75	sseldi 3095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> z e. A )
77	74, 76	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( F ` z ) e. CC )
78	31	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( F ` B ) e. CC )
79	77, 78	subcld 8073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) e. CC )
80		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = z -> ( w # B <-> z # B ) )
81	80	elrab 2840	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. { w e. A | w # B } <-> ( z e. A /\ z # B ) )
82	81	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. { w e. A | w # B } -> z # B )
83	82	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> z # B )
84	42, 44, 83	subap0d 8406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( z - B ) # 0 )
85	79, 45, 84	divcanap1d 8551	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) )
86	85	mpteq2dva 4018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
87	86	oveq1d 5789	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) ) lim CC B ) = ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
88	72, 73, 87	3eltr3d 2222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
89	33	fmpttd 5575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) : A --> CC )
90	89, 5	limcdifap 12800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) = ( ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` { w e. A | w # B } ) lim CC B ) )
91		resmpt 4867	. . . . . . . . . . 11 |- ( { w e. A | w # B } C_ A -> ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` { w e. A | w # B } ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
92	40, 91	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` { w e. A | w # B } ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) )
93	92	oveq1i 5784	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` { w e. A | w # B } ) lim CC B ) = ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B )
94	90, 93	syl6eq 2188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) = ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
95	88, 94	eleqtrrd 2219	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
96		cncfmptc 12751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` B ) e. CC /\ A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. A |-> ( F ` B ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
97	31, 5, 35, 96	syl3anc 1216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( F ` B ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
98		eqidd 2140	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> ( F ` B ) = ( F ` B ) )
99	97, 29, 98	cnmptlimc 12812	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( F ` B ) e. ( ( z e. A |-> ( F ` B ) ) lim CC B ) )
100	1	addcncntop 12721	. . . . . . . 8 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
101		opelxpi 4571	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. CC /\ ( F ` B ) e. CC ) -> <. 0 , ( F ` B ) >. e. ( CC X. CC ) )
102	66, 31, 101	sylancr 410	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> <. 0 , ( F ` B ) >. e. ( CC X. CC ) )
103	69	cncnpi 12397	. . . . . . . 8 |- ( ( + e. ( ( K tX K ) Cn K ) /\ <. 0 , ( F ` B ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> + e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. 0 , ( F ` B ) >. ) )
104	100, 102, 103	sylancr 410	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> + e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. 0 , ( F ` B ) >. ) )
105	33, 32, 35, 35, 1, 38, 95, 99, 104	limccnp2cntop 12815	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( 0 + ( F ` B ) ) e. ( ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
106	31	addid2d 7912	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( 0 + ( F ` B ) ) = ( F ` B ) )
107	30, 32	npcand 8077	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) = ( F ` z ) )
108	107	mpteq2dva 4018	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) = ( z e. A |-> ( F ` z ) ) )
109	6	feqmptd 5474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> F = ( z e. A |-> ( F ` z ) ) )
110	108, 109	eqtr4d 2175	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) = F )
111	110	oveq1d 5789	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) lim CC B ) = ( F lim CC B ) )
112	105, 106, 111	3eltr3d 2222	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )
113	1, 2, 5, 6, 29, 112	cnplimclemr 12807	. . . 4 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )
114	113	ex 114	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( B ( S _D F ) y -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
115	114	exlimdv 1791	. 2 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( E. y B ( S _D F ) y -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
116		eldmg 4734	. . 3 |- ( B e. dom ( S _D F ) -> ( B e. dom ( S _D F ) <-> E. y B ( S _D F ) y ) )
117	116	ibi 175	. 2 |- ( B e. dom ( S _D F ) -> E. y B ( S _D F ) y )
118	115, 117	impel 278	1 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B e. dom ( S _D F ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   {crab 2420   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   <.cop 3530   U.cuni 3736   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   X. cxp 4537   dom cdm 4539   |` cres 4541   o. ccom 4543   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   0cc0 7620   + caddc 7623   x. cmul 7625   - cmin 7933   # cap 8343   / cdiv 8432   abscabs 10769   ↾_t crest 12120   MetOpencmopn 12154   Topctop 12164  TopOnctopon 12177   intcnt 12262   Cn ccn 12354   CnP ccnp 12355   tX ctx 12421   -cn->ccncf 12726   lim CC climc 12792   _D cdv 12793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740  ax-addf 7742  ax-mulf 7743

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-pm 6545  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-rest 12122  df-topgen 12141  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-met 12158  df-bl 12159  df-mopn 12160  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-ntr 12265  df-cn 12357  df-cnp 12358  df-tx 12422  df-cncf 12727  df-limced 12794  df-dvap 12795

This theorem is referenced by:  dvcn  12833  dvmulxxbr  12835  dvcoapbr  12840