Theorem reuen1 6340

Description: Two ways to express "exactly one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
reuen1	|- ( E! x e. A ph <-> { x e. A | ph } ~~ 1o )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem reuen1

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reusn 3465	. 2 |- ( E! x e. A ph <-> E. y { x e. A | ph } = { y } )
2		en1 6338	. 2 |- ( { x e. A | ph } ~~ 1o <-> E. y { x e. A | ph } = { y } )
3	1, 2	bitr4i 185	1 |- ( E! x e. A ph <-> { x e. A | ph } ~~ 1o )

Syntax hints:   <-> wb 103   = wceq 1285   E.wex 1422   E!wreu 2351   {crab 2353   {csn 3400   class class class wbr 3787   1oc1o 6052   ~~ cen 6278

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-id 4050  df-suc 4128  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-1o 6059  df-en 6281

This theorem is referenced by:  euen1  6341