Theorem rnopab 4609

Description: The range of a class of ordered pairs. (Contributed by NM, 14-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rnopab	|- ran { <. x , y >. | ph } = { y | E. x ph }

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem rnopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfopab1 3855	. . 3 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
2		nfopab2 3856	. . 3 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
3	1, 2	dfrnf 4603	. 2 |- ran { <. x , y >. | ph } = { y | E. x x { <. x , y >. | ph } y }
4		df-br 3794	. . . . 5 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } )
5		opabid 4020	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
6	4, 5	bitri 182	. . . 4 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> ph )
7	6	exbii 1537	. . 3 |- ( E. x x { <. x , y >. | ph } y <-> E. x ph )
8	7	abbii 2195	. 2 |- { y | E. x x { <. x , y >. | ph } y } = { y | E. x ph }
9	3, 8	eqtri 2102	1 |- ran { <. x , y >. | ph } = { y | E. x ph }

Syntax hints:   = wceq 1285   E.wex 1422   e. wcel 1434   {cab 2068   <.cop 3409   class class class wbr 3793   {copab 3846   ran crn 4372

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-opab 3848  df-cnv 4379  df-dm 4381  df-rn 4382

This theorem is referenced by:  rnmpt  4610  mptpreima  4844  rnoprab  5618