Theorem seq3m1 10241

Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3m1.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
seq3m1.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
seq3m1.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seq3m1.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3m1	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` N ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, F, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y

Proof of Theorem seq3m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3m1.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		seq3m1.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
3		eluzp1m1 9349	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 408	. . 3 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5		seq3m1.f	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
6		seq3m1.pl	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
7	4, 5, 6	seq3p1 10235	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ) )
8		eluzelcn 9337	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> N e. CC )
9		ax-1cn 7713	. . . . 5 |- 1 e. CC
10		npcan 7971	. . . . 5 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
11	8, 9, 10	sylancl 409	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
12	2, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
13	12	fveq2d 5425	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
14	12	fveq2d 5425	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( F ` N ) )
15	14	oveq2d 5790	. 2 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` N ) ) )
16	7, 13, 15	3eqtr3d 2180	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N - 1 ) ) .+ ( F ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   1c1 7621   + caddc 7623   - cmin 7933   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   seqcseq 10218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-seqfrec 10219

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10271  seq3id  10281  seq3z  10284  bcn2  10510  seq3coll  10585  serf0  11121