Theorem ser0 10287

Description: The value of the partial sums in a zero-valued infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ser0.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
ser0	|- ( N e. Z -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` N ) = 0 )

Proof of Theorem ser0

Dummy variables v k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 7903	. . 3 |- ( 0 + 0 ) = 0
2	1	a1i 9	. 2 |- ( N e. Z -> ( 0 + 0 ) = 0 )
3		ser0.1	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4	3	eleq2i 2206	. . 3 |- ( N e. Z <-> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5	4	biimpi 119	. 2 |- ( N e. Z -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		0cn 7758	. . 3 |- 0 e. CC
7		elfzuz 9802	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
8	7, 3	eleqtrrdi 2233	. . . 4 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. Z )
9	8	adantl 275	. . 3 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. Z )
10		fvconst2g 5634	. . 3 |- ( ( 0 e. CC /\ k e. Z ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
11	6, 9, 10	sylancr 410	. 2 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
12		0cnd 7759	. 2 |- ( N e. Z -> 0 e. CC )
13	3	eleq2i 2206	. . . . . 6 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
14	13	biimpri 132	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. Z )
15	14	adantl 275	. . . 4 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. Z )
16	6, 15, 10	sylancr 410	. . 3 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
17	16, 6	eqeltrdi 2230	. 2 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
18		addcl 7745	. . 3 |- ( ( k e. CC /\ v e. CC ) -> ( k + v ) e. CC )
19	18	adantl 275	. 2 |- ( ( N e. Z /\ ( k e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( k + v ) e. CC )
20	2, 5, 11, 12, 17, 19	seq3id3 10280	1 |- ( N e. Z -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` N ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   {csn 3527   X. cxp 4537   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   0cc0 7620   + caddc 7623   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790   seqcseq 10218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219

This theorem is referenced by:  ser0f  10288  isumz  11158