Theorem snnen2oprc 6385

Description: A singleton { A } is never equinumerous with the ordinal number 2. If A is a set, see snnen2og 6384. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2oprc	|- ( -. A e. _V -> -. { A } ~~ 2o )

Proof of Theorem snnen2oprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 6068	. . 3 |- 2o =/= (/)
2		ensymb 6319	. . . 4 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o ~~ (/) )
3		en0 6334	. . . 4 |- ( 2o ~~ (/) <-> 2o = (/) )
4	2, 3	bitri 182	. . 3 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o = (/) )
5	1, 4	nemtbir 2335	. 2 |- -. (/) ~~ 2o
6		snprc 3459	. . . 4 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
7	6	biimpi 118	. . 3 |- ( -. A e. _V -> { A } = (/) )
8	7	breq1d 3797	. 2 |- ( -. A e. _V -> ( { A } ~~ 2o <-> (/) ~~ 2o ) )
9	5, 8	mtbiri 633	1 |- ( -. A e. _V -> -. { A } ~~ 2o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1285   e. wcel 1434   _Vcvv 2602   (/)c0 3252   {csn 3400   class class class wbr 3787   2oc2o 6053   ~~ cen 6278

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-tr 3878  df-id 4050  df-iord 4123  df-on 4125  df-suc 4128  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-1o 6059  df-2o 6060  df-er 6165  df-en 6281

This theorem is referenced by: (None)