ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  snnen2og Unicode version

Theorem snnen2og 6353
Description: A singleton  { A } is never equinumerous with the ordinal number 2. If  A is a proper class, see snnen2oprc 6354. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
snnen2og  |-  ( A  e.  V  ->  -.  { A }  ~~  2o )

Proof of Theorem snnen2og
StepHypRef Expression
1 1onn 6124 . . 3  |-  1o  e.  om
2 php5 6352 . . 3  |-  ( 1o  e.  om  ->  -.  1o  ~~  suc  1o )
31, 2ax-mp 7 . 2  |-  -.  1o  ~~ 
suc  1o
4 ensn1g 6308 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~~  1o )
5 df-2o 6033 . . . . 5  |-  2o  =  suc  1o
65eqcomi 2060 . . . 4  |-  suc  1o  =  2o
76breq2i 3800 . . 3  |-  ( 1o 
~~  suc  1o  <->  1o  ~~  2o )
8 ensymb 6291 . . . . 5  |-  ( { A }  ~~  1o  <->  1o 
~~  { A }
)
9 entr 6295 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  ~~  { A }  /\  { A }  ~~  2o )  ->  1o  ~~  2o )
109ex 112 . . . . 5  |-  ( 1o 
~~  { A }  ->  ( { A }  ~~  2o  ->  1o  ~~  2o ) )
118, 10sylbi 118 . . . 4  |-  ( { A }  ~~  1o  ->  ( { A }  ~~  2o  ->  1o  ~~  2o ) )
1211con3rr3 573 . . 3  |-  ( -.  1o  ~~  2o  ->  ( { A }  ~~  1o  ->  -.  { A }  ~~  2o ) )
137, 12sylnbi 613 . 2  |-  ( -.  1o  ~~  suc  1o  ->  ( { A }  ~~  1o  ->  -.  { A }  ~~  2o ) )
143, 4, 13mpsyl 63 1  |-  ( A  e.  V  ->  -.  { A }  ~~  2o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1409   {csn 3403   class class class wbr 3792   suc csuc 4130   omcom 4341   1oc1o 6025   2oc2o 6026    ~~ cen 6250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-br 3793  df-opab 3847  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-1o 6032  df-2o 6033  df-er 6137  df-en 6253
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator