Theorem structfn 11983

Description: Convert between two kinds of structure closure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
structfn.1	|- F Struct <. M , N >.

Assertion

Ref	Expression
structfn	|- ( Fun `' `' F /\ dom F C_ ( 1 ... N ) )

Proof of Theorem structfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structfn.1	. . 3 |- F Struct <. M , N >.
2	1	structfun 11982	. 2 |- Fun `' `' F
3		isstructim 11978	. . . . 5 |- ( F Struct <. M , N >. -> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( M ... N ) ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( M ... N ) )
5	4	simp3i 992	. . 3 |- dom F C_ ( M ... N )
6	4	simp1i 990	. . . . . 6 |- ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N )
7	6	simp1i 990	. . . . 5 |- M e. NN
8		elnnuz 9367	. . . . 5 |- ( M e. NN <-> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
9	7, 8	mpbi 144	. . . 4 |- M e. ( ZZ>= ` 1 )
10		fzss1 9848	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( M ... N ) C_ ( 1 ... N ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 |- ( M ... N ) C_ ( 1 ... N )
12	5, 11	sstri 3106	. 2 |- dom F C_ ( 1 ... N )
13	2, 12	pm3.2i 270	1 |- ( Fun `' `' F /\ dom F C_ ( 1 ... N ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   /\ w3a 962   e. wcel 1480   \ cdif 3068   C_ wss 3071   (/)c0 3363   {csn 3527   <.cop 3530   class class class wbr 3929   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   Fun wfun 5117   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1c1 7626   <_ cle 7806   NNcn 8725   ZZ>=cuz 9331   ...cfz 9795   Struct cstr 11960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7716  ax-resscn 7717  ax-1cn 7718  ax-1re 7719  ax-icn 7720  ax-addcl 7721  ax-addrcl 7722  ax-mulcl 7723  ax-addcom 7725  ax-addass 7727  ax-distr 7729  ax-i2m1 7730  ax-0lt1 7731  ax-0id 7733  ax-rnegex 7734  ax-cnre 7736  ax-pre-ltirr 7737  ax-pre-ltwlin 7738  ax-pre-lttrn 7739  ax-pre-ltadd 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7807  df-mnf 7808  df-xr 7809  df-ltxr 7810  df-le 7811  df-sub 7940  df-neg 7941  df-inn 8726  df-z 9060  df-uz 9332  df-fz 9796  df-struct 11966

This theorem is referenced by: (None)