Theorem supubti 6886

Description: A supremum is an upper bound. See also supclti 6885 and suplubti 6887.

This proof demonstrates how to expand an iota-based definition (df-iota 5088) using riotacl2 5743.

(Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
supclti.2	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supubti	|- ( ph -> ( C e. B -> -. sup ( B , A , R ) R C ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, x   y, A, x, z   x, B, y, z   u, R, v, x   y, R, z   ph, u, v, x

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( v, u)   C( x, y, z, v, u)

Proof of Theorem supubti

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> A. y e. B -. x R y )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. A -> ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> A. y e. B -. x R y ) )
3	2	ss2rabi 3179	. . 3 |- { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } C_ { x e. A | A. y e. B -. x R y }
4		supmoti.ti	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
5		supclti.2	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
6	4, 5	supval2ti 6882	. . . 4 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
7	4, 5	supeuti 6881	. . . . 5 |- ( ph -> E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
8		riotacl2 5743	. . . . 5 |- ( E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) e. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) e. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } )
10	6, 9	eqeltrd 2216	. . 3 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } )
11	3, 10	sseldi 3095	. 2 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. { x e. A | A. y e. B -. x R y } )
12		breq2 3933	. . . . . . 7 |- ( y = w -> ( x R y <-> x R w ) )
13	12	notbid 656	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( -. x R y <-> -. x R w ) )
14	13	cbvralv 2654	. . . . 5 |- ( A. y e. B -. x R y <-> A. w e. B -. x R w )
15		breq1 3932	. . . . . . 7 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( x R w <-> sup ( B , A , R ) R w ) )
16	15	notbid 656	. . . . . 6 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( -. x R w <-> -. sup ( B , A , R ) R w ) )
17	16	ralbidv 2437	. . . . 5 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( A. w e. B -. x R w <-> A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w ) )
18	14, 17	syl5bb 191	. . . 4 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( A. y e. B -. x R y <-> A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w ) )
19	18	elrab 2840	. . 3 |- ( sup ( B , A , R ) e. { x e. A | A. y e. B -. x R y } <-> ( sup ( B , A , R ) e. A /\ A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w ) )
20	19	simprbi 273	. 2 |- ( sup ( B , A , R ) e. { x e. A | A. y e. B -. x R y } -> A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w )
21		breq2 3933	. . . 4 |- ( w = C -> ( sup ( B , A , R ) R w <-> sup ( B , A , R ) R C ) )
22	21	notbid 656	. . 3 |- ( w = C -> ( -. sup ( B , A , R ) R w <-> -. sup ( B , A , R ) R C ) )
23	22	rspccv 2786	. 2 |- ( A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w -> ( C e. B -> -. sup ( B , A , R ) R C ) )
24	11, 20, 23	3syl 17	1 |- ( ph -> ( C e. B -> -. sup ( B , A , R ) R C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   E!wreu 2418   {crab 2420   class class class wbr 3929   iota_crio 5729   supcsup 6869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-iota 5088  df-riota 5730  df-sup 6871

This theorem is referenced by:  suplub2ti  6888  supisoti  6897  inflbti  6911  suprubex  8709  zsupcl  11640  dvdslegcd  11653