Theorem tgiun 12245

Description: The indexed union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgiun	|- ( ( B e. V /\ A. x e. A C e. B ) -> U_ x e. A C e. ( topGen ` B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, V

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem tgiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun3g 4796	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> U_ x e. A C = U. ran ( x e. A |-> C ) )
2	1	adantl 275	. 2 |- ( ( B e. V /\ A. x e. A C e. B ) -> U_ x e. A C = U. ran ( x e. A |-> C ) )
3		eqid 2139	. . . 4 |- ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> C )
4	3	rnmptss 5581	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> ran ( x e. A |-> C ) C_ B )
5		eltg3i 12228	. . 3 |- ( ( B e. V /\ ran ( x e. A |-> C ) C_ B ) -> U. ran ( x e. A |-> C ) e. ( topGen ` B ) )
6	4, 5	sylan2 284	. 2 |- ( ( B e. V /\ A. x e. A C e. B ) -> U. ran ( x e. A |-> C ) e. ( topGen ` B ) )
7	2, 6	eqeltrd 2216	1 |- ( ( B e. V /\ A. x e. A C e. B ) -> U_ x e. A C e. ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   C_ wss 3071   U.cuni 3736   U_ciun 3813   |-> cmpt 3989   ran crn 4540   ` cfv 5123   topGenctg 12138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-topgen 12144

This theorem is referenced by:  txbasval  12439