Theorem eltg3i 12228

Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg3i	|- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> U. A e. ( topGen ` B ) )

Proof of Theorem eltg3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> A C_ B )
2		pwuni 4116	. . . . 5 |- A C_ ~P U. A
3	1, 2	jctir 311	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( A C_ B /\ A C_ ~P U. A ) )
4		ssin 3298	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ A C_ ~P U. A ) <-> A C_ ( B i^i ~P U. A ) )
5	3, 4	sylib 121	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> A C_ ( B i^i ~P U. A ) )
6	5	unissd 3760	. 2 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> U. A C_ U. ( B i^i ~P U. A ) )
7		eltg 12224	. . 3 |- ( B e. V -> ( U. A e. ( topGen ` B ) <-> U. A C_ U. ( B i^i ~P U. A ) ) )
8	7	adantr 274	. 2 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( U. A e. ( topGen ` B ) <-> U. A C_ U. ( B i^i ~P U. A ) ) )
9	6, 8	mpbird 166	1 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> U. A e. ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   i^i cin 3070   C_ wss 3071   ~Pcpw 3510   U.cuni 3736   ` cfv 5123   topGenctg 12138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topgen 12144

This theorem is referenced by:  eltg3  12229  tgiun  12245  tgidm  12246  tgrest  12341