Theorem unirnbl 12595

Description: The union of the set of balls of a metric space is its base set. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
unirnbl	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> U. ran ( ball ` D ) = X )

Proof of Theorem unirnbl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf 12582	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )
2	1	frnd 5282	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ran ( ball ` D ) C_ ~P X )
3		sspwuni 3897	. . 3 |- ( ran ( ball ` D ) C_ ~P X <-> U. ran ( ball ` D ) C_ X )
4	2, 3	sylib 121	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> U. ran ( ball ` D ) C_ X )
5		1rp 9448	. . . 4 |- 1 e. RR+
6		blcntr 12588	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ 1 e. RR+ ) -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
7	5, 6	mp3an3 1304	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
8		rpxr 9452	. . . . 5 |- ( 1 e. RR+ -> 1 e. RR* )
9	5, 8	ax-mp 5	. . . 4 |- 1 e. RR*
10		blelrn 12592	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ 1 e. RR* ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran ( ball ` D ) )
11	9, 10	mp3an3 1304	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran ( ball ` D ) )
12		elunii 3741	. . 3 |- ( ( x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) /\ ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran ( ball ` D ) ) -> x e. U. ran ( ball ` D ) )
13	7, 11, 12	syl2anc 408	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> x e. U. ran ( ball ` D ) )
14	4, 13	eqelssd 3116	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> U. ran ( ball ` D ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   C_ wss 3071   ~Pcpw 3510   U.cuni 3736   X. cxp 4537   ran crn 4540   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1c1 7624   RR*cxr 7802   RR+crp 9444   *Metcxmet 12152   ballcbl 12154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1re 7717  ax-addrcl 7720  ax-0lt1 7729  ax-rnegex 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-rp 9445  df-psmet 12159  df-xmet 12160  df-bl 12162

This theorem is referenced by:  blbas  12605  mopntopon  12615  elmopn  12618  metss  12666  xmettx  12682