Theorem unitg 12234

Description: The topology generated by a basis B is a topology on U. B. Importantly, this theorem means that we don't have to specify separately the base set for the topological space generated by a basis. In other words, any member of the class TopBases completely specifies the basis it corresponds to. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Proof shortened by OpenAI, 30-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
unitg	|- ( B e. V -> U. ( topGen ` B ) = U. B )

Proof of Theorem unitg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tg1 12231	. . . . . 6 |- ( x e. ( topGen ` B ) -> x C_ U. B )
2		velpw 3517	. . . . . 6 |- ( x e. ~P U. B <-> x C_ U. B )
3	1, 2	sylibr 133	. . . . 5 |- ( x e. ( topGen ` B ) -> x e. ~P U. B )
4	3	ssriv 3101	. . . 4 |- ( topGen ` B ) C_ ~P U. B
5		sspwuni 3897	. . . 4 |- ( ( topGen ` B ) C_ ~P U. B <-> U. ( topGen ` B ) C_ U. B )
6	4, 5	mpbi 144	. . 3 |- U. ( topGen ` B ) C_ U. B
7	6	a1i 9	. 2 |- ( B e. V -> U. ( topGen ` B ) C_ U. B )
8		bastg 12233	. . 3 |- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )
9	8	unissd 3760	. 2 |- ( B e. V -> U. B C_ U. ( topGen ` B ) )
10	7, 9	eqssd 3114	1 |- ( B e. V -> U. ( topGen ` B ) = U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   C_ wss 3071   ~Pcpw 3510   U.cuni 3736   ` cfv 5123   topGenctg 12138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topgen 12144

This theorem is referenced by:  tgcl  12236  tgtopon  12238  txtopon  12434  uniretop  12697