Theorem bastg 12230

Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bastg	|- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )

Proof of Theorem bastg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x e. B )
2		vex 2689	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3	2	pwid 3525	. . . . . . 7 |- x e. ~P x
4	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x e. ~P x )
5	1, 4	elind 3261	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x e. ( B i^i ~P x ) )
6		elssuni 3764	. . . . 5 |- ( x e. ( B i^i ~P x ) -> x C_ U. ( B i^i ~P x ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x C_ U. ( B i^i ~P x ) )
8	7	ex 114	. . 3 |- ( B e. V -> ( x e. B -> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
9		eltg 12221	. . 3 |- ( B e. V -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
10	8, 9	sylibrd 168	. 2 |- ( B e. V -> ( x e. B -> x e. ( topGen ` B ) ) )
11	10	ssrdv 3103	1 |- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   i^i cin 3070   C_ wss 3071   ~Pcpw 3510   U.cuni 3736   ` cfv 5123   topGenctg 12135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topgen 12141

This theorem is referenced by:  unitg  12231  tgclb  12234  tgtop  12237  tgidm  12243  tgss3  12247  bastop2  12253  tgcn  12377  tgcnp  12378  txopn  12434  txbasval  12436  blssopn  12654  xmettxlem  12678  iooretopg  12697