Theorem xmetec 12606

Description: The equivalence classes under the finite separation equivalence relation are infinity balls. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	|- .~ = ( `' D " RR )

Assertion

Ref	Expression
xmetec	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> [ P ] .~ = ( P ( ball ` D ) +oo ) )

Proof of Theorem xmetec

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmeter.1	. . . . 5 |- .~ = ( `' D " RR )
2	1	xmeterval 12604	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( P .~ x <-> ( P e. X /\ x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) ) )
3		3anass 966	. . . . 5 |- ( ( P e. X /\ x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) <-> ( P e. X /\ ( x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) ) )
4	3	baib 904	. . . 4 |- ( P e. X -> ( ( P e. X /\ x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) ) )
5	2, 4	sylan9bb 457	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( P .~ x <-> ( x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) ) )
6		vex 2689	. . . . 5 |- x e. _V
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> x e. _V )
8		elecg 6467	. . . 4 |- ( ( x e. _V /\ P e. X ) -> ( x e. [ P ] .~ <-> P .~ x ) )
9	7, 8	sylan 281	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( x e. [ P ] .~ <-> P .~ x ) )
10		xblpnf 12568	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( x e. ( P ( ball ` D ) +oo ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) ) )
11	5, 9, 10	3bitr4d 219	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( x e. [ P ] .~ <-> x e. ( P ( ball ` D ) +oo ) ) )
12	11	eqrdv 2137	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> [ P ] .~ = ( P ( ball ` D ) +oo ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   class class class wbr 3929   `'ccnv 4538   "cima 4542   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   [cec 6427   RRcr 7619   +oocpnf 7797   *Metcxmet 12149   ballcbl 12151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-ec 6431  df-map 6544  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-2 8779  df-xadd 9560  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-bl 12159

This theorem is referenced by:  blssec  12607  blpnfctr  12608