ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2rmorex GIF version

Theorem 2rmorex 2797
Description: Double restricted quantification with "at most one," analogous to 2moex 2028. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2rmorex (∃*𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem 2rmorex
StepHypRef Expression
1 df-rex 2355 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑦(𝑦𝐵𝜑))
21anbi2i 445 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦𝐵 𝜑) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦(𝑦𝐵𝜑)))
32mobii 1979 . . . . . 6 (∃*𝑥(𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦𝐵 𝜑) ↔ ∃*𝑥(𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦(𝑦𝐵𝜑)))
4 df-rmo 2357 . . . . . 6 (∃*𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ↔ ∃*𝑥(𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦𝐵 𝜑))
5 19.42v 1828 . . . . . . 7 (∃𝑦(𝑥𝐴 ∧ (𝑦𝐵𝜑)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦(𝑦𝐵𝜑)))
65mobii 1979 . . . . . 6 (∃*𝑥𝑦(𝑥𝐴 ∧ (𝑦𝐵𝜑)) ↔ ∃*𝑥(𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦(𝑦𝐵𝜑)))
73, 4, 63bitr4i 210 . . . . 5 (∃*𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ↔ ∃*𝑥𝑦(𝑥𝐴 ∧ (𝑦𝐵𝜑)))
8 2moex 2028 . . . . 5 (∃*𝑥𝑦(𝑥𝐴 ∧ (𝑦𝐵𝜑)) → ∀𝑦∃*𝑥(𝑥𝐴 ∧ (𝑦𝐵𝜑)))
97, 8sylbi 119 . . . 4 (∃*𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∀𝑦∃*𝑥(𝑥𝐴 ∧ (𝑦𝐵𝜑)))
10 an12 526 . . . . . 6 ((𝑥𝐴 ∧ (𝑦𝐵𝜑)) ↔ (𝑦𝐵 ∧ (𝑥𝐴𝜑)))
1110mobii 1979 . . . . 5 (∃*𝑥(𝑥𝐴 ∧ (𝑦𝐵𝜑)) ↔ ∃*𝑥(𝑦𝐵 ∧ (𝑥𝐴𝜑)))
1211albii 1400 . . . 4 (∀𝑦∃*𝑥(𝑥𝐴 ∧ (𝑦𝐵𝜑)) ↔ ∀𝑦∃*𝑥(𝑦𝐵 ∧ (𝑥𝐴𝜑)))
139, 12sylib 120 . . 3 (∃*𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∀𝑦∃*𝑥(𝑦𝐵 ∧ (𝑥𝐴𝜑)))
14 moanimv 2017 . . . 4 (∃*𝑥(𝑦𝐵 ∧ (𝑥𝐴𝜑)) ↔ (𝑦𝐵 → ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
1514albii 1400 . . 3 (∀𝑦∃*𝑥(𝑦𝐵 ∧ (𝑥𝐴𝜑)) ↔ ∀𝑦(𝑦𝐵 → ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
1613, 15sylib 120 . 2 (∃*𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∀𝑦(𝑦𝐵 → ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
17 df-ral 2354 . . 3 (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑦(𝑦𝐵 → ∃*𝑥𝐴 𝜑))
18 df-rmo 2357 . . . . 5 (∃*𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑))
1918imbi2i 224 . . . 4 ((𝑦𝐵 → ∃*𝑥𝐴 𝜑) ↔ (𝑦𝐵 → ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
2019albii 1400 . . 3 (∀𝑦(𝑦𝐵 → ∃*𝑥𝐴 𝜑) ↔ ∀𝑦(𝑦𝐵 → ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
2117, 20bitri 182 . 2 (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑦(𝑦𝐵 → ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
2216, 21sylibr 132 1 (∃*𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wal 1283  wex 1422  wcel 1434  ∃*wmo 1943  wral 2349  wrex 2350  ∃*wrmo 2352
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rmo 2357
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator