Theorem 2rmorex 2890

Description: Double restricted quantification with "at most one," analogous to 2moex 2085. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2rmorex	⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem 2rmorex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2422	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
2	1	anbi2i 452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
3	2	mobii 2036	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
4		df-rmo 2424	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
5		19.42v 1878	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
6	5	mobii 2036	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
7	3, 4, 6	3bitr4i 211	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃*𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
8		2moex 2085	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
9	7, 8	sylbi 120	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
10		an12 550	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
11	10	mobii 2036	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ ∃*𝑥(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
12	11	albii 1446	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ ∀𝑦∃*𝑥(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
13	9, 12	sylib 121	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑦∃*𝑥(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
14		moanimv 2074	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
15	14	albii 1446	. . 3 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
16	13, 15	sylib 121	. 2 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
17		df-ral 2421	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
18		df-rmo 2424	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
19	18	imbi2i 225	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
20	19	albii 1446	. . 3 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
21	17, 20	bitri 183	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
22	16, 21	sylibr 133	1 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ∀wal 1329  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∃*wmo 2000  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  ∃*wrmo 2419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rmo 2424

This theorem is referenced by: (None)