Theorem co01 5053

Description: Composition with the empty set. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co01	⊢ (∅ ∘ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem co01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnv0 4942	. . . 4 ⊢ ◡∅ = ∅
2		cnvco 4724	. . . . 5 ⊢ ◡(∅ ∘ 𝐴) = (◡𝐴 ∘ ◡∅)
3	1	coeq2i 4699	. . . . 5 ⊢ (◡𝐴 ∘ ◡∅) = (◡𝐴 ∘ ∅)
4		co02 5052	. . . . 5 ⊢ (◡𝐴 ∘ ∅) = ∅
5	2, 3, 4	3eqtri 2164	. . . 4 ⊢ ◡(∅ ∘ 𝐴) = ∅
6	1, 5	eqtr4i 2163	. . 3 ⊢ ◡∅ = ◡(∅ ∘ 𝐴)
7	6	cnveqi 4714	. 2 ⊢ ◡◡∅ = ◡◡(∅ ∘ 𝐴)
8		rel0 4664	. . 3 ⊢ Rel ∅
9		dfrel2 4989	. . 3 ⊢ (Rel ∅ ↔ ◡◡∅ = ∅)
10	8, 9	mpbi 144	. 2 ⊢ ◡◡∅ = ∅
11		relco 5037	. . 3 ⊢ Rel (∅ ∘ 𝐴)
12		dfrel2 4989	. . 3 ⊢ (Rel (∅ ∘ 𝐴) ↔ ◡◡(∅ ∘ 𝐴) = (∅ ∘ 𝐴))
13	11, 12	mpbi 144	. 2 ⊢ ◡◡(∅ ∘ 𝐴) = (∅ ∘ 𝐴)
14	7, 10, 13	3eqtr3ri 2169	1 ⊢ (∅ ∘ 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1331  ∅c0 3363  ^◡ccnv 4538   ∘ ccom 4543  Rel wrel 4544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548

This theorem is referenced by: (None)