Theorem difprsn2 3531

Description: Removal of a singleton from an unordered pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
difprsn2	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐵}) = {𝐴})

Proof of Theorem difprsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 3473	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐴}
2	1	difeq1i 3085	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐵}) = ({𝐵, 𝐴} ∖ {𝐵})
3		necom 2304	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
4		difprsn1 3530	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → ({𝐵, 𝐴} ∖ {𝐵}) = {𝐴})
5	3, 4	sylbi 118	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐵, 𝐴} ∖ {𝐵}) = {𝐴})
6	2, 5	syl5eq 2100	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐵}) = {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1259   ≠ wne 2220   ∖ cdif 2941  {csn 3402  {cpr 3403

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038

This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-sn 3408  df-pr 3409

This theorem is referenced by: (None)