ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isopo GIF version

Theorem isopo 5490
Description: An isomorphism preserves partial ordering. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isopo (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Po 𝐴𝑆 Po 𝐵))

Proof of Theorem isopo
StepHypRef Expression
1 isocnv 5479 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
2 isopolem 5489 . . 3 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → (𝑅 Po 𝐴𝑆 Po 𝐵))
31, 2syl 14 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Po 𝐴𝑆 Po 𝐵))
4 isopolem 5489 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑆 Po 𝐵𝑅 Po 𝐴))
53, 4impbid 124 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Po 𝐴𝑆 Po 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 102   Po wpo 4059  ccnv 4372   Isom wiso 4931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2788  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-po 4061  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-isom 4939
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator