Theorem map0g 6582

Description: Set exponentiation is empty iff the base is empty and the exponent is not empty. Theorem 97 of [Suppes] p. 89. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
map0g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ↑𝑚 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))

Proof of Theorem map0g

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 5321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐴 → (𝐵 × {𝑓}):𝐵⟶𝐴)
2		elmapg 6555	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐵 × {𝑓}) ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ (𝐵 × {𝑓}):𝐵⟶𝐴))
3	1, 2	syl5ibr 155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑓 ∈ 𝐴 → (𝐵 × {𝑓}) ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵)))
4		ne0i 3369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 × {𝑓}) ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≠ ∅)
5	3, 4	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑓 ∈ 𝐴 → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≠ ∅))
6	5	exlimdv 1791	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴 → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≠ ∅))
7	6	necon2bd 2366	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ↑𝑚 𝐵) = ∅ → ¬ ∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴))
8		notm0 3383	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)
9	7, 8	syl6ib 160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ↑𝑚 𝐵) = ∅ → 𝐴 = ∅))
10		f0 5313	. . . . . . 7 ⊢ ∅:∅⟶𝐴
11		feq2 5256	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∅ → (∅:𝐵⟶𝐴 ↔ ∅:∅⟶𝐴))
12	10, 11	mpbiri 167	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∅:𝐵⟶𝐴)
13		elmapg 6555	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∅ ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ ∅:𝐵⟶𝐴))
14	12, 13	syl5ibr 155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 = ∅ → ∅ ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵)))
15		ne0i 3369	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≠ ∅)
16	14, 15	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 = ∅ → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≠ ∅))
17	16	necon2d 2367	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ↑𝑚 𝐵) = ∅ → 𝐵 ≠ ∅))
18	9, 17	jcad 305	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ↑𝑚 𝐵) = ∅ → (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
19		oveq1 5781	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) = (∅ ↑𝑚 𝐵))
20		map0b 6581	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (∅ ↑𝑚 𝐵) = ∅)
21	19, 20	sylan9eq 2192	. 2 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) = ∅)
22	18, 21	impbid1 141	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ↑𝑚 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  ∅c0 3363  {csn 3527   × cxp 4537  ⟶wf 5119  (class class class)co 5774   ↑_𝑚 cmap 6542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-map 6544

This theorem is referenced by:  map0  6583