Theorem mapsnf1o3 6591

Description: Explicit bijection in the reverse of mapsnf1o2 6590. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	⊢ 𝑆 = {𝑋}
mapsncnv.b	⊢ 𝐵 ∈ V
mapsncnv.x	⊢ 𝑋 ∈ V
mapsnf1o3.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 × {𝑦}))

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o3	⊢ 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem mapsnf1o3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑋}
2		mapsncnv.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		mapsncnv.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ V
4		eqid 2139	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋))
5	1, 2, 3, 4	mapsnf1o2 6590	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋)):(𝐵 ↑𝑚 𝑆)–1-1-onto→𝐵
6		f1ocnv 5380	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋)):(𝐵 ↑𝑚 𝑆)–1-1-onto→𝐵 → ◡(𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋)):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 𝑆))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋)):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 𝑆)
8		mapsnf1o3.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 × {𝑦}))
9	1, 2, 3, 4	mapsncnv 6589	. . . 4 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 × {𝑦}))
10	8, 9	eqtr4i 2163	. . 3 ⊢ 𝐹 = ◡(𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋))
11		f1oeq1 5356	. . 3 ⊢ (𝐹 = ◡(𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋)) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↔ ◡(𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋)):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 𝑆)))
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↔ ◡(𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋)):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 𝑆))
13	7, 12	mpbir 145	1 ⊢ 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 𝑆)

Syntax hints:   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686  {csn 3527   ↦ cmpt 3989   × cxp 4537  ^◡ccnv 4538  –1-1-onto→wf1o 5122  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ↑_𝑚 cmap 6542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-map 6544

This theorem is referenced by: (None)