Theorem restrcl 12346

Description: Reverse closure for the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by Jim Kingdon, 23-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
restrcl	⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))

Proof of Theorem restrcl

Dummy variables 𝑥 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 12183	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
2		df-rest 12132	. . 3 ⊢ ↾t = (𝑗 ∈ V, 𝑥 ∈ V ↦ ran (𝑦 ∈ 𝑗 ↦ (𝑦 ∩ 𝑥)))
3	2	elmpocl 5968	. 2 ⊢ (∅ ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
4	1, 3	syl 14	1 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ∩ cin 3070  ∅c0 3363   ↦ cmpt 3989  ran crn 4540  (class class class)co 5774   ↾_t crest 12130  Topctop 12174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-rest 12132  df-top 12175

This theorem is referenced by:  cnrest2r  12416