Theorem ssntr 12291

Description: An open subset of a set is a subset of the set's interior. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ssntr	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆)) → 𝑂 ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem ssntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3259	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ∈ 𝒫 𝑆))
2		elpwg 3518	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ 𝐽 → (𝑂 ∈ 𝒫 𝑆 ↔ 𝑂 ⊆ 𝑆))
3	2	pm5.32i 449	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ∈ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆))
4	1, 3	bitr2i 184	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆) ↔ 𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
5		elssuni 3764	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) → 𝑂 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
6	4, 5	sylbi 120	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆) → 𝑂 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
7	6	adantl 275	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆)) → 𝑂 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
8		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
9	8	ntrval 12279	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
10	9	adantr 274	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
11	7, 10	sseqtrrd 3136	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆)) → 𝑂 ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071  𝒫 cpw 3510  ∪ cuni 3736  ‘cfv 5123  Topctop 12164  intcnt 12262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-top 12165  df-ntr 12265

This theorem is referenced by:  ntrin  12293  neiint  12314  cnntri  12393