Theorem tpnei 12329

Description: The underlying set of a topology is a neighborhood of any of its subsets. Special case of opnneiss 12327. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpnei.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
tpnei	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Proof of Theorem tpnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpnei.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	topopn 12175	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
3		opnneiss 12327	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
4	3	3exp 1180	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∈ 𝐽 → (𝑆 ⊆ 𝑋 → 𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
5	2, 4	mpd 13	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ⊆ 𝑋 → 𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
6		ssnei 12320	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
7	6	ex 114	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑋))
8	5, 7	impbid 128	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3071  ∪ cuni 3736  ‘cfv 5123  Topctop 12164  neicnei 12307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-top 12165  df-nei 12308

This theorem is referenced by:  neiuni  12330