New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  ce2 Structured version   Unicode version

Theorem ce2 6213
 Description: The value of base two cardinal exponentiation. Theorem XI.2.70 of {{Rosser}}. (Contributed by SF, 3-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ce2.1
Assertion
Ref Expression
ce2 Nc 1 2cc Nc

Proof of Theorem ce2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5570 . 2 Nc 1 2cc 2cc Nc 1
2 df-pr 3742 . . . . . . . . . 10
3 pw1eq 4143 . . . . . . . . . 10 1 1
42, 3ax-mp 8 . . . . . . . . 9 1 1
5 pw1un 4163 . . . . . . . . 9 1 1 1
64, 5eqtri 2373 . . . . . . . 8 1 1 1
7 df-pr 3742 . . . . . . . . 9
8 vvex 4109 . . . . . . . . . . 11
98pw1sn 4165 . . . . . . . . . 10 1
10 0ex 4110 . . . . . . . . . . 11
1110pw1sn 4165 . . . . . . . . . 10 1
129, 11uneq12i 3416 . . . . . . . . 9 1 1
137, 12eqtr4i 2376 . . . . . . . 8 1 1
146, 13eqtr4i 2376 . . . . . . 7 1
15 vn0 3557 . . . . . . . . . 10
168sneqb 3876 . . . . . . . . . . 11
1716necon3bii 2548 . . . . . . . . . 10
1815, 17mpbir 200 . . . . . . . . 9
19 eqid 2353 . . . . . . . . 9
20 snex 4111 . . . . . . . . . 10
21 snex 4111 . . . . . . . . . 10
22 neeq1 2524 . . . . . . . . . . . 12
23 neeq2 2525 . . . . . . . . . . . 12
2422, 23sylan9bb 680 . . . . . . . . . . 11
25 preq12 3801 . . . . . . . . . . . 12
2625eqeq2d 2364 . . . . . . . . . . 11
2724, 26anbi12d 691 . . . . . . . . . 10
2820, 21, 27spc2ev 2947 . . . . . . . . 9
2918, 19, 28mp2an 653 . . . . . . . 8
30 el2c 6212 . . . . . . . 8 2c
3129, 30mpbir 200 . . . . . . 7 2c
3214, 31eqeltri 2423 . . . . . 6 1 2c
33 2nc 6189 . . . . . . 7 2c NC
34 ncseqnc 6149 . . . . . . 7 2c NC 2c Nc 1 1 2c
3533, 34ax-mp 8 . . . . . 6 2c Nc 1 1 2c
3632, 35mpbir 200 . . . . 5 2c Nc 1
3736oveq1i 5572 . . . 4 2cc Nc 1 Nc 1 c Nc 1
38 prex 4112 . . . . 5
39 ce2.1 . . . . 5
4038, 39cenc 6202 . . . 4 Nc 1 c Nc 1 Nc
4137, 40eqtri 2373 . . 3 2cc Nc 1 Nc
42 eqid 2353 . . . . 5
438, 10, 39enprmapc 6103 . . . . 5
4415, 42, 43mp2an 653 . . . 4
45 ovex 5590 . . . . 5
4645eqnc 6148 . . . 4 Nc Nc
4744, 46mpbir 200 . . 3 Nc Nc
4841, 47eqtri 2373 . 2 2cc Nc 1 Nc
491, 48syl6eq 2401 1 Nc 1 2cc Nc
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  cvv 2859   cun 3207  c0 3550  cpw 3722  csn 3737  cpr 3738  1 cpw1 4135   class class class wbr 4631  (class class class)co 5564   cmap 6019   cen 6048   NC cncs 6108   Nc cnc 6111  2cc2c 6114   ↑c cce 6116 This theorem is referenced by:  ce2nc1  6214  ce2ncpw11c  6215  ce2lt  6241  ce2le  6253  tce2  6256 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-4 2135  ax-5o 2136  ax-6o 2137  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4439  df-ltfin 4440  df-ncfin 4441  df-tfin 4442  df-evenfin 4443  df-oddfin 4444  df-sfin 4445  df-spfin 4446  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4615  df-br 4632  df-1st 4715  df-swap 4716  df-sset 4717  df-co 4718  df-ima 4719  df-si 4720  df-id 4759  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-rn 4780  df-dm 4781  df-res 4782  df-fun 4783  df-fn 4784  df-f 4785  df-f1 4786  df-fo 4787  df-f1o 4788  df-fv 4789  df-2nd 4791  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt 5693  df-mpt2 5694  df-txp 5787  df-ins2 5793  df-ins3 5794  df-image 5795  df-ins4 5796  df-si3 5797  df-funs 5798  df-fns 5799  df-pw1fn 5801  df-trans 5919  df-sym 5928  df-er 5929  df-ec 5967  df-qs 5971  df-map 6021  df-en 6049  df-ncs 6118  df-nc 6121  df-2c 6124  df-ce 6126
 Copyright terms: Public domain W3C validator