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Theorem refex 5931
Description: The class of all reflexive relationships is a set. (Contributed by SF, 11-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
refex Ref

Proof of Theorem refex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ref 5920 . . 3 Ref
2 vex 2862 . . . . . . 7
3 vex 2862 . . . . . . 7
42, 3opex 4588 . . . . . 6
54elcompl 3225 . . . . 5 SI 1c SSet SSet 1c SI 1c SSet SSet 1c
6 elima1c 4961 . . . . . . . 8 SI 1c SSet SSet 1c SI 1c SSet SSet
7 oteltxp 5810 . . . . . . . . . 10 SI 1c SSet SSet SI 1c SSet SSet
8 snex 4111 . . . . . . . . . . . . . 14
98, 2opex 4588 . . . . . . . . . . . . 13
109elcompl 3225 . . . . . . . . . . . 12 SI 1c SSet SI 1c SSet
11 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15
1211, 11opex 4588 . . . . . . . . . . . . . 14
1312, 2opelssetsn 4752 . . . . . . . . . . . . 13 SSet
14 trtxp 5809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SI 1c SI 1c
15 elima1c 4961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 SI 1c SI
16 oteltxp 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 SI SI
17 opelcnv 4905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
18 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1918, 11opsnelsi 5804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 SI
20 brin 4685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
21 df-br 4632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2211, 11op1st2nd 5819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2320, 21, 223bitr3i 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2419, 23bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 SI
2517, 24anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 SI
26 ancom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2716, 25, 263bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 SI
2827exbii 1582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 SI
29 sneq 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3029opeq2d 4585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3130eleq1d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3212, 31ceqsexv 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3315, 28, 323bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 SI 1c
34 df-br 4632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 SI 1c SI 1c
35 df-br 4632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3633, 34, 353bitr4i 268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SI 1c
3736anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SI 1c
38 snex 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3938, 2op1st2nd 5819 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4014, 37, 393bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 SI 1c
4140rexbii 2639 . . . . . . . . . . . . . 14 SSet SI 1c SSet
42 elima 4746 . . . . . . . . . . . . . 14 SI 1c SSet SSet SI 1c
43 risset 2661 . . . . . . . . . . . . . 14 SSet SSet
4441, 42, 433bitr4i 268 . . . . . . . . . . . . 13 SI 1c SSet SSet
45 df-br 4632 . . . . . . . . . . . . 13
4613, 44, 453bitr4i 268 . . . . . . . . . . . 12 SI 1c SSet
4710, 46xchbinx 301 . . . . . . . . . . 11 SI 1c SSet
4811, 3opelssetsn 4752 . . . . . . . . . . 11 SSet
4947, 48anbi12i 678 . . . . . . . . . 10 SI 1c SSet SSet
50 ancom 437 . . . . . . . . . 10
517, 49, 503bitri 262 . . . . . . . . 9 SI 1c SSet SSet
5251exbii 1582 . . . . . . . 8 SI 1c SSet SSet
536, 52bitri 240 . . . . . . 7 SI 1c SSet SSet 1c
54 df-rex 2620 . . . . . . 7
55 rexnal 2625 . . . . . . 7
5653, 54, 553bitr2ri 265 . . . . . 6 SI 1c SSet SSet 1c
5756con1bii 321 . . . . 5 SI 1c SSet SSet 1c
585, 57bitri 240 . . . 4 SI 1c SSet SSet 1c
5958releqopab 5838 . . 3 SI 1c SSet SSet 1c
601, 59eqtr4i 2376 . 2 Ref SI 1c SSet SSet 1c
61 vvex 4109 . . . 4
6261, 61xpex 5148 . . 3
63 1stex 4731 . . . . . . . . . . . 12
6463cnvex 5135 . . . . . . . . . . 11
65 2ndex 5145 . . . . . . . . . . . . 13
6663, 65inex 4105 . . . . . . . . . . . 12
6766siex 4745 . . . . . . . . . . 11 SI
6864, 67txpex 5813 . . . . . . . . . 10 SI
69 1cex 4142 . . . . . . . . . 10 1c
7068, 69imaex 4739 . . . . . . . . 9 SI 1c
7170, 65txpex 5813 . . . . . . . 8 SI 1c
72 ssetex 4736 . . . . . . . 8 SSet
7371, 72imaex 4739 . . . . . . 7 SI 1c SSet
7473complex 4104 . . . . . 6 SI 1c SSet
7574, 72txpex 5813 . . . . 5 SI 1c SSet SSet
7675, 69imaex 4739 . . . 4 SI 1c SSet SSet 1c
7776complex 4104 . . 3 SI 1c SSet SSet 1c
7862, 77inex 4105 . 2 SI 1c SSet SSet 1c
7960, 78eqeltri 2423 1 Ref
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wa 358  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  wral 2614  wrex 2615  cvv 2859   ∼ ccompl 3205   cin 3208  csn 3737  1cc1c 4134  cop 4561  copab 4614   class class class wbr 4631  c1st 4709   SSet csset 4711   SI csi 4712  cima 4714   cxp 4762  ccnv 4763  c2nd 4776   ctxp 5771   Ref cref 5909
This theorem is referenced by:  partialex  5937
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4439  df-ltfin 4440  df-ncfin 4441  df-tfin 4442  df-evenfin 4443  df-oddfin 4444  df-sfin 4445  df-spfin 4446  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4615  df-br 4632  df-1st 4715  df-swap 4716  df-sset 4717  df-co 4718  df-ima 4719  df-si 4720  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-rn 4780  df-dm 4781  df-2nd 4791  df-txp 5787  df-ref 5920
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