New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  isocnv GIF version

Theorem isocnv 5491
 Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by set.mm contributors, 27-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isocnv (H Isom R, S (A, B) → H Isom S, R (B, A))

Proof of Theorem isocnv
Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5299 . . . 4 (H:A1-1-ontoBH:B1-1-ontoA)
21adantr 451 . . 3 ((H:A1-1-ontoB x A y A (xRy ↔ (Hx)S(Hy))) → H:B1-1-ontoA)
3 f1ocnvfv2 5477 . . . . . . . 8 ((H:A1-1-ontoB z B) → (H ‘(Hz)) = z)
43adantrr 697 . . . . . . 7 ((H:A1-1-ontoB (z B w B)) → (H ‘(Hz)) = z)
5 f1ocnvfv2 5477 . . . . . . . 8 ((H:A1-1-ontoB w B) → (H ‘(Hw)) = w)
65adantrl 696 . . . . . . 7 ((H:A1-1-ontoB (z B w B)) → (H ‘(Hw)) = w)
74, 6breq12d 4652 . . . . . 6 ((H:A1-1-ontoB (z B w B)) → ((H ‘(Hz))S(H ‘(Hw)) ↔ zSw))
87adantlr 695 . . . . 5 (((H:A1-1-ontoB x A y A (xRy ↔ (Hx)S(Hy))) (z B w B)) → ((H ‘(Hz))S(H ‘(Hw)) ↔ zSw))
9 f1of 5287 . . . . . . 7 (H:B1-1-ontoAH:B–→A)
101, 9syl 15 . . . . . 6 (H:A1-1-ontoBH:B–→A)
11 ffvelrn 5415 . . . . . . . . 9 ((H:B–→A z B) → (Hz) A)
12 ffvelrn 5415 . . . . . . . . 9 ((H:B–→A w B) → (Hw) A)
1311, 12anim12dan 810 . . . . . . . 8 ((H:B–→A (z B w B)) → ((Hz) A (Hw) A))
14 breq1 4642 . . . . . . . . . . 11 (x = (Hz) → (xRy ↔ (Hz)Ry))
15 fveq2 5328 . . . . . . . . . . . 12 (x = (Hz) → (Hx) = (H ‘(Hz)))
1615breq1d 4649 . . . . . . . . . . 11 (x = (Hz) → ((Hx)S(Hy) ↔ (H ‘(Hz))S(Hy)))
1714, 16bibi12d 312 . . . . . . . . . 10 (x = (Hz) → ((xRy ↔ (Hx)S(Hy)) ↔ ((Hz)Ry ↔ (H ‘(Hz))S(Hy))))
18 bicom 191 . . . . . . . . . 10 (((Hz)Ry ↔ (H ‘(Hz))S(Hy)) ↔ ((H ‘(Hz))S(Hy) ↔ (Hz)Ry))
1917, 18syl6bb 252 . . . . . . . . 9 (x = (Hz) → ((xRy ↔ (Hx)S(Hy)) ↔ ((H ‘(Hz))S(Hy) ↔ (Hz)Ry)))
20 fveq2 5328 . . . . . . . . . . 11 (y = (Hw) → (Hy) = (H ‘(Hw)))
2120breq2d 4651 . . . . . . . . . 10 (y = (Hw) → ((H ‘(Hz))S(Hy) ↔ (H ‘(Hz))S(H ‘(Hw))))
22 breq2 4643 . . . . . . . . . 10 (y = (Hw) → ((Hz)Ry ↔ (Hz)R(Hw)))
2321, 22bibi12d 312 . . . . . . . . 9 (y = (Hw) → (((H ‘(Hz))S(Hy) ↔ (Hz)Ry) ↔ ((H ‘(Hz))S(H ‘(Hw)) ↔ (Hz)R(Hw))))
2419, 23rspc2va 2962 . . . . . . . 8 ((((Hz) A (Hw) A) x A y A (xRy ↔ (Hx)S(Hy))) → ((H ‘(Hz))S(H ‘(Hw)) ↔ (Hz)R(Hw)))
2513, 24sylan 457 . . . . . . 7 (((H:B–→A (z B w B)) x A y A (xRy ↔ (Hx)S(Hy))) → ((H ‘(Hz))S(H ‘(Hw)) ↔ (Hz)R(Hw)))
2625an32s 779 . . . . . 6 (((H:B–→A x A y A (xRy ↔ (Hx)S(Hy))) (z B w B)) → ((H ‘(Hz))S(H ‘(Hw)) ↔ (Hz)R(Hw)))
2710, 26sylanl1 631 . . . . 5 (((H:A1-1-ontoB x A y A (xRy ↔ (Hx)S(Hy))) (z B w B)) → ((H ‘(Hz))S(H ‘(Hw)) ↔ (Hz)R(Hw)))
288, 27bitr3d 246 . . . 4 (((H:A1-1-ontoB x A y A (xRy ↔ (Hx)S(Hy))) (z B w B)) → (zSw ↔ (Hz)R(Hw)))
2928ralrimivva 2706 . . 3 ((H:A1-1-ontoB x A y A (xRy ↔ (Hx)S(Hy))) → z B w B (zSw ↔ (Hz)R(Hw)))
302, 29jca 518 . 2 ((H:A1-1-ontoB x A y A (xRy ↔ (Hx)S(Hy))) → (H:B1-1-ontoA z B w B (zSw ↔ (Hz)R(Hw))))
31 df-iso 4796 . 2 (H Isom R, S (A, B) ↔ (H:A1-1-ontoB x A y A (xRy ↔ (Hx)S(Hy))))
32 df-iso 4796 . 2 (H Isom S, R (B, A) ↔ (H:B1-1-ontoA z B w B (zSw ↔ (Hz)R(Hw))))
3330, 31, 323imtr4i 257 1 (H Isom R, S (A, B) → H Isom S, R (B, A))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∀wral 2614   class class class wbr 4639  ◡ccnv 4771  –→wf 4777  –1-1-onto→wf1o 4780   ‘cfv 4781   Isom wiso 4782 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-iso 4796 This theorem is referenced by:  isores1  5494
 Copyright terms: Public domain W3C validator