Theorem mercolem4 1505

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco2 1501. (Contributed by Anthony Hart, 16-Aug-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mercolem4	⊢ ((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ))))

Proof of Theorem mercolem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		merco2 1501	. 2 ⊢ (((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ))))
2		merco2 1501	. . . 4 ⊢ ((((η → φ) → φ) → (( ⊥ → φ) → θ)) → ((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ)))))
3		merco2 1501	. . . . . . . . 9 ⊢ (((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → (θ → χ))) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ))))
4		mercolem1 1502	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → (θ → χ))) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ)))) → ((( ⊥ → φ) → (θ → χ)) → ((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ))))))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((( ⊥ → φ) → (θ → χ)) → ((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ)))))
6		mercolem1 1502	. . . . . . . 8 ⊢ (((( ⊥ → φ) → (θ → χ)) → ((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ))))) → ((θ → χ) → (( ⊥ → φ) → ((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ)))))))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((θ → χ) → (( ⊥ → φ) → ((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ))))))
8		merco2 1501	. . . . . . 7 ⊢ (((θ → χ) → (( ⊥ → φ) → ((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ)))))) → ((((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ)))) → θ) → (((η → φ) → φ) → (( ⊥ → φ) → θ))))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ)))) → θ) → (((η → φ) → φ) → (( ⊥ → φ) → θ)))
10		mercolem3 1504	. . . . . 6 ⊢ (((((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ)))) → θ) → (((η → φ) → φ) → (( ⊥ → φ) → θ))) → ((((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ)))) → θ) → (( ⊥ → φ) → (((η → φ) → φ) → (( ⊥ → φ) → θ)))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ)))) → θ) → (( ⊥ → φ) → (((η → φ) → φ) → (( ⊥ → φ) → θ))))
12		merco2 1501	. . . . 5 ⊢ (((((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ)))) → θ) → (( ⊥ → φ) → (((η → φ) → φ) → (( ⊥ → φ) → θ)))) → (((((η → φ) → φ) → (( ⊥ → φ) → θ)) → ((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ))))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ))))))))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((((η → φ) → φ) → (( ⊥ → φ) → θ)) → ((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ))))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ)))))))
14	2, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ))))))
15	1, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ)))))
16	1, 15	ax-mp 5	1 ⊢ ((θ → (η → φ)) → (((θ → χ) → φ) → (τ → (η → φ))))

Syntax hints:   → wi 4   ⊥ wfal 1317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-tru 1319  df-fal 1320

This theorem is referenced by:  mercolem6  1507  mercolem7  1508