Theorem mercolem6 1507

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco2 1501. (Contributed by Anthony Hart, 16-Aug-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mercolem6	⊢ ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ)))

Proof of Theorem mercolem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		merco2 1501	. 2 ⊢ (((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ))))
2		mercolem1 1502	. . . . . . . 8 ⊢ (((φ → (φ → (ψ → (φ → χ)))) → (φ → χ)) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))
3		mercolem1 1502	. . . . . . . 8 ⊢ ((((φ → (φ → (ψ → (φ → χ)))) → (φ → χ)) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ)))) → ((φ → χ) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((φ → χ) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ)))))
5		mercolem5 1506	. . . . . . . 8 ⊢ (φ → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))))
6		mercolem4 1505	. . . . . . . 8 ⊢ ((φ → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ)))))) → (((φ → χ) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))))))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((φ → χ) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ)))))))
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))))
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((φ → (ψ → (φ → χ))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ)))))
10		mercolem1 1502	. . . . . . . 8 ⊢ (((φ → (((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ))))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))))
11		mercolem1 1502	. . . . . . . 8 ⊢ ((((φ → (((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ))))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ)))))) → (((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))))))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ)))))))
13		mercolem5 1506	. . . . . . . 8 ⊢ ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (((φ → (ψ → (φ → χ))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))))))
14		mercolem4 1505	. . . . . . . 8 ⊢ (((φ → (ψ → (φ → χ))) → (((φ → (ψ → (φ → χ))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ)))))))) → ((((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → (((φ → (ψ → (φ → χ))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))))))))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → (((φ → (ψ → (φ → χ))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ)))))))))
16	12, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → (((φ → (ψ → (φ → χ))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))))))
17	1, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((φ → (ψ → (φ → χ))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ)))))))
18	9, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))))
19	1, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ)))))
20	1, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ))))
21	1, 20	ax-mp 5	1 ⊢ ((φ → (ψ → (φ → χ))) → (ψ → (φ → χ)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ⊥ wfal 1317

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This proof depends on definitions:  df-bi 177  df-tru 1319  df-fal 1320

This theorem is used by:  mercolem7  1508  re1tbw1  1510  re1tbw2  1511  re1tbw3  1512