Theorem mercolem8 1509

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco2 1501. (Contributed by Anthony Hart, 16-Aug-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mercolem8	⊢ ((φ → ψ) → ((ψ → (φ → χ)) → (τ → (θ → (φ → χ)))))

Proof of Theorem mercolem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		merco2 1501	. 2 ⊢ (((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ))))
2		merco2 1501	. . . . 5 ⊢ ((((φ → χ) → (( ⊥ → φ) → ψ)) → (( ⊥ → φ) → ψ)) → ((ψ → (φ → χ)) → (τ → (θ → (φ → χ)))))
3		mercolem3 1504	. . . . 5 ⊢ (((((φ → χ) → (( ⊥ → φ) → ψ)) → (( ⊥ → φ) → ψ)) → ((ψ → (φ → χ)) → (τ → (θ → (φ → χ))))) → ((((φ → χ) → (( ⊥ → φ) → ψ)) → (( ⊥ → φ) → ψ)) → ((φ → ψ) → ((ψ → (φ → χ)) → (τ → (θ → (φ → χ)))))))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((((φ → χ) → (( ⊥ → φ) → ψ)) → (( ⊥ → φ) → ψ)) → ((φ → ψ) → ((ψ → (φ → χ)) → (τ → (θ → (φ → χ))))))
5		mercolem7 1508	. . . . . 6 ⊢ ((φ → ψ) → (((φ → χ) → (( ⊥ → φ) → ψ)) → (( ⊥ → φ) → ψ)))
6		mercolem7 1508	. . . . . 6 ⊢ (((φ → ψ) → (((φ → χ) → (( ⊥ → φ) → ψ)) → (( ⊥ → φ) → ψ))) → ((((φ → ψ) → ((ψ → (φ → χ)) → (τ → (θ → (φ → χ))))) → (( ⊥ → φ) → (((φ → χ) → (( ⊥ → φ) → ψ)) → (( ⊥ → φ) → ψ)))) → (( ⊥ → φ) → (((φ → χ) → (( ⊥ → φ) → ψ)) → (( ⊥ → φ) → ψ)))))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((((φ → ψ) → ((ψ → (φ → χ)) → (τ → (θ → (φ → χ))))) → (( ⊥ → φ) → (((φ → χ) → (( ⊥ → φ) → ψ)) → (( ⊥ → φ) → ψ)))) → (( ⊥ → φ) → (((φ → χ) → (( ⊥ → φ) → ψ)) → (( ⊥ → φ) → ψ))))
8		merco2 1501	. . . . 5 ⊢ (((((φ → ψ) → ((ψ → (φ → χ)) → (τ → (θ → (φ → χ))))) → (( ⊥ → φ) → (((φ → χ) → (( ⊥ → φ) → ψ)) → (( ⊥ → φ) → ψ)))) → (( ⊥ → φ) → (((φ → χ) → (( ⊥ → φ) → ψ)) → (( ⊥ → φ) → ψ)))) → (((((φ → χ) → (( ⊥ → φ) → ψ)) → (( ⊥ → φ) → ψ)) → ((φ → ψ) → ((ψ → (φ → χ)) → (τ → (θ → (φ → χ)))))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → ψ) → ((ψ → (φ → χ)) → (τ → (θ → (φ → χ)))))))))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((((φ → χ) → (( ⊥ → φ) → ψ)) → (( ⊥ → φ) → ψ)) → ((φ → ψ) → ((ψ → (φ → χ)) → (τ → (θ → (φ → χ)))))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → ψ) → ((ψ → (φ → χ)) → (τ → (θ → (φ → χ))))))))
10	4, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → ψ) → ((ψ → (φ → χ)) → (τ → (θ → (φ → χ)))))))
11	1, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((((φ → φ) → (( ⊥ → φ) → φ)) → ((φ → φ) → (φ → (φ → φ)))) → ((φ → ψ) → ((ψ → (φ → χ)) → (τ → (θ → (φ → χ))))))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ((φ → ψ) → ((ψ → (φ → χ)) → (τ → (θ → (φ → χ)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ⊥ wfal 1317

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This proof depends on definitions:  df-bi 177  df-tru 1319  df-fal 1320

This theorem is used by:  re1tbw1  1510