Theorem bastop2 12253

Description: A version of bastop1 12252 that doesn't have B C_ J in the antecedent. (Contributed by NM, 3-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
bastop2	|- ( J e. Top -> ( ( topGen ` B ) = J <-> ( B C_ J /\ A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, J, y

Proof of Theorem bastop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2202	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` B ) = J -> ( ( topGen ` B ) e. Top <-> J e. Top ) )
2	1	biimparc 297	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> ( topGen ` B ) e. Top )
3		tgclb 12234	. . . . . . 7 |- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )
4	2, 3	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> B e. TopBases )
5		bastg 12230	. . . . . 6 |- ( B e. TopBases -> B C_ ( topGen ` B ) )
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> B C_ ( topGen ` B ) )
7		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> ( topGen ` B ) = J )
8	6, 7	sseqtrd 3135	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> B C_ J )
9	8	ex 114	. . 3 |- ( J e. Top -> ( ( topGen ` B ) = J -> B C_ J ) )
10	9	pm4.71rd 391	. 2 |- ( J e. Top -> ( ( topGen ` B ) = J <-> ( B C_ J /\ ( topGen ` B ) = J ) ) )
11		bastop1 12252	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( ( topGen ` B ) = J <-> A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) )
12	11	pm5.32da 447	. 2 |- ( J e. Top -> ( ( B C_ J /\ ( topGen ` B ) = J ) <-> ( B C_ J /\ A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) ) )
13	10, 12	bitrd 187	1 |- ( J e. Top -> ( ( topGen ` B ) = J <-> ( B C_ J /\ A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   C_ wss 3071   U.cuni 3736   ` cfv 5123   topGenctg 12135   Topctop 12164   TopBasesctb 12209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topgen 12141  df-top 12165  df-bases 12210

This theorem is referenced by: (None)