Theorem cnmet 12699

Description: The absolute value metric determines a metric space on the complex numbers. This theorem provides a link between complex numbers and metrics spaces, making metric space theorems available for use with complex numbers. (Contributed by FL, 9-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnmet	|- ( abs o. - ) e. ( Met ` CC )

Proof of Theorem cnmet

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7744	. 2 |- CC e. _V
2		absf 10882	. . 3 |- abs : CC --> RR
3		subf 7964	. . 3 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
4		fco 5288	. . 3 |- ( ( abs : CC --> RR /\ - : ( CC X. CC ) --> CC ) -> ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR )
5	2, 3, 4	mp2an 422	. 2 |- ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR
6		subcl 7961	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x - y ) e. CC )
7	6	abs00ad 10837	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( abs ` ( x - y ) ) = 0 <-> ( x - y ) = 0 ) )
8		eqid 2139	. . . . . 6 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
9	8	cnmetdval 12698	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) y ) = ( abs ` ( x - y ) ) )
10	9	eqcomd 2145	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( abs ` ( x - y ) ) = ( x ( abs o. - ) y ) )
11	10	eqeq1d 2148	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( abs ` ( x - y ) ) = 0 <-> ( x ( abs o. - ) y ) = 0 ) )
12		subeq0 7988	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( x - y ) = 0 <-> x = y ) )
13	7, 11, 12	3bitr3d 217	. 2 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( x ( abs o. - ) y ) = 0 <-> x = y ) )
14		abs3dif 10877	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( x - y ) ) <_ ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - y ) ) ) )
15		abssub 10873	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( x - z ) ) = ( abs ` ( z - x ) ) )
16	15	oveq1d 5789	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - y ) ) ) = ( ( abs ` ( z - x ) ) + ( abs ` ( z - y ) ) ) )
17	16	3adant2 1000	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) + ( abs ` ( z - y ) ) ) = ( ( abs ` ( z - x ) ) + ( abs ` ( z - y ) ) ) )
18	14, 17	breqtrd 3954	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( x - y ) ) <_ ( ( abs ` ( z - x ) ) + ( abs ` ( z - y ) ) ) )
19	9	3adant3 1001	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) y ) = ( abs ` ( x - y ) ) )
20	8	cnmetdval 12698	. . . . . 6 |- ( ( z e. CC /\ x e. CC ) -> ( z ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( z - x ) ) )
21	20	3adant3 1001	. . . . 5 |- ( ( z e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( z ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( z - x ) ) )
22	8	cnmetdval 12698	. . . . . 6 |- ( ( z e. CC /\ y e. CC ) -> ( z ( abs o. - ) y ) = ( abs ` ( z - y ) ) )
23	22	3adant2 1000	. . . . 5 |- ( ( z e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( z ( abs o. - ) y ) = ( abs ` ( z - y ) ) )
24	21, 23	oveq12d 5792	. . . 4 |- ( ( z e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( z ( abs o. - ) x ) + ( z ( abs o. - ) y ) ) = ( ( abs ` ( z - x ) ) + ( abs ` ( z - y ) ) ) )
25	24	3coml 1188	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( z ( abs o. - ) x ) + ( z ( abs o. - ) y ) ) = ( ( abs ` ( z - x ) ) + ( abs ` ( z - y ) ) ) )
26	18, 19, 25	3brtr4d 3960	. 2 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) y ) <_ ( ( z ( abs o. - ) x ) + ( z ( abs o. - ) y ) ) )
27	1, 5, 13, 26	ismeti 12515	1 |- ( abs o. - ) e. ( Met ` CC )

Syntax hints:   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   X. cxp 4537   o. ccom 4543   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   + caddc 7623   <_ cle 7801   - cmin 7933   abscabs 10769   Metcmet 12150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-met 12158

This theorem is referenced by:  cnxmet  12700  remet  12709