ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subcl Unicode version

Theorem subcl 7273
Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
subcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem subcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subval 7266 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  =  ( iota_ x  e.  CC  ( B  +  x )  =  A ) )
2 negeu 7265 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  E! x  e.  CC  ( B  +  x
)  =  A )
32ancoms 259 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  E! x  e.  CC  ( B  +  x
)  =  A )
4 riotacl 5510 . . 3  |-  ( E! x  e.  CC  ( B  +  x )  =  A  ->  ( iota_ x  e.  CC  ( B  +  x )  =  A )  e.  CC )
53, 4syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( iota_ x  e.  CC  ( B  +  x
)  =  A )  e.  CC )
61, 5eqeltrd 2130 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    = wceq 1259    e. wcel 1409   E!wreu 2325   iota_crio 5495  (class class class)co 5540   CCcc 6945    + caddc 6950    - cmin 7245
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-setind 4290  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-sub 7247
This theorem is referenced by:  negcl  7274  subf  7276  pncan3  7282  npcan  7283  addsubass  7284  addsub  7285  addsub12  7287  addsubeq4  7289  npncan  7295  nppcan  7296  nnpcan  7297  nppcan3  7298  subcan2  7299  subsub2  7302  subsub4  7307  nnncan  7309  nnncan1  7310  nnncan2  7311  npncan3  7312  addsub4  7317  subadd4  7318  peano2cnm  7340  subcli  7350  subcld  7385  subeqrev  7446  subdi  7454  subdir  7455  mulsub2  7471  recextlem1  7706  recexap  7708  cju  7989  halfaddsubcl  8215  halfaddsub  8216  iccf1o  8973  isersub  9408  sqsubswap  9480  subsq  9525  subsq2  9526  bcn2  9632  shftval2  9655  2shfti  9660  sqabssub  9883  abssub  9928  abs3dif  9932  abs2dif  9933  abs2difabs  9935  climuni  10045  cjcn2  10067  recn2  10068  imcn2  10069  climsub  10079  fzocongeq  10170  odd2np1  10184
  Copyright terms: Public domain W3C validator