Theorem dffun9 5152

Description: Alternate definition of a function. (Contributed by NM, 28-Mar-2007.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dffun9	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y e. ran A x A y ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dffun9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun7 5150	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y x A y ) )
2		vex 2689	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3		vex 2689	. . . . . . . 8 |- y e. _V
4	2, 3	brelrn 4772	. . . . . . 7 |- ( x A y -> y e. ran A )
5	4	pm4.71ri 389	. . . . . 6 |- ( x A y <-> ( y e. ran A /\ x A y ) )
6	5	mobii 2036	. . . . 5 |- ( E* y x A y <-> E* y ( y e. ran A /\ x A y ) )
7		df-rmo 2424	. . . . 5 |- ( E* y e. ran A x A y <-> E* y ( y e. ran A /\ x A y ) )
8	6, 7	bitr4i 186	. . . 4 |- ( E* y x A y <-> E* y e. ran A x A y )
9	8	ralbii 2441	. . 3 |- ( A. x e. dom A E* y x A y <-> A. x e. dom A E* y e. ran A x A y )
10	9	anbi2i 452	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y x A y ) <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y e. ran A x A y ) )
11	1, 10	bitri 183	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y e. ran A x A y ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   E*wmo 2000   A.wral 2416   E*wrmo 2419   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   ran crn 4540   Rel wrel 4544   Fun wfun 5117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rmo 2424  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fun 5125

This theorem is referenced by: (None)