Theorem divrecap 8451

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divrecap	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) )

Proof of Theorem divrecap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 982	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> B e. CC )
2		simp1 981	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> A e. CC )
3		recclap 8442	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ B # 0 ) -> ( 1 / B ) e. CC )
4	3	3adant1 999	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( 1 / B ) e. CC )
5	1, 2, 4	mul12d 7917	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( B x. ( A x. ( 1 / B ) ) ) = ( A x. ( B x. ( 1 / B ) ) ) )
6		recidap 8449	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ B # 0 ) -> ( B x. ( 1 / B ) ) = 1 )
7	6	3adant1 999	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( B x. ( 1 / B ) ) = 1 )
8	7	oveq2d 5790	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( A x. ( B x. ( 1 / B ) ) ) = ( A x. 1 ) )
9	2	mulid1d 7786	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( A x. 1 ) = A )
10	5, 8, 9	3eqtrd 2176	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( B x. ( A x. ( 1 / B ) ) ) = A )
11	2, 4	mulcld 7789	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( A x. ( 1 / B ) ) e. CC )
12		3simpc 980	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
13		divmulap 8438	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( A x. ( 1 / B ) ) e. CC /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> ( ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) <-> ( B x. ( A x. ( 1 / B ) ) ) = A ) )
14	2, 11, 12, 13	syl3anc 1216	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) <-> ( B x. ( A x. ( 1 / B ) ) ) = A ) )
15	10, 14	mpbird 166	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7621   0cc0 7623   1c1 7624   x. cmul 7628   # cap 8346   / cdiv 8435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740  ax-pre-mulext 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347  df-div 8436

This theorem is referenced by:  divrecap2  8452  divassap  8453  divdirap  8460  dividap  8464  divnegap  8469  rec11ap  8473  divdiv32ap  8483  redivclap  8494  divrecapzi  8513  divrecapi  8520  divrecapd  8556  expdivap  10347  efival  11442  ef01bndlem  11466  cos01bnd  11468  divcnap  12727