Theorem divcnap 12724

Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is apart from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcncntop.j	|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
divcnap.k	|- K = ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } )

Assertion

Ref	Expression
divcnap	|- ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y / z ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J )

Distinct variable groups:   x, y, z, J   x, K, y, z

Proof of Theorem divcnap

Dummy variables a b u w q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3932	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x # 0 <-> z # 0 ) )
2	1	elrab 2840	. . . 4 |- ( z e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( z e. CC /\ z # 0 ) )
3		divrecap 8448	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ z # 0 ) -> ( y / z ) = ( y x. ( 1 / z ) ) )
4	3	3expb 1182	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ ( z e. CC /\ z # 0 ) ) -> ( y / z ) = ( y x. ( 1 / z ) ) )
5	2, 4	sylan2b 285	. . 3 |- ( ( y e. CC /\ z e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( y / z ) = ( y x. ( 1 / z ) ) )
6	5	mpoeq3ia 5836	. 2 |- ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y / z ) ) = ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y x. ( 1 / z ) ) )
7		addcncntop.j	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
8	7	cntoptopon 12701	. . . . 5 |- J e. (TopOn ` CC )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> J e. (TopOn ` CC ) )
10		divcnap.k	. . . . 5 |- K = ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } )
11		ssrab2 3182	. . . . . 6 |- { x e. CC | x # 0 } C_ CC
12		resttopon 12340	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ { x e. CC | x # 0 } C_ CC ) -> ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } ) e. (TopOn ` { x e. CC | x # 0 } ) )
13	9, 11, 12	sylancl 409	. . . . 5 |- ( T. -> ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } ) e. (TopOn ` { x e. CC | x # 0 } ) )
14	10, 13	eqeltrid 2226	. . . 4 |- ( T. -> K e. (TopOn ` { x e. CC | x # 0 } ) )
15	9, 14	cnmpt1st 12457	. . . 4 |- ( T. -> ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> y ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
16	9, 14	cnmpt2nd 12458	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> z ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
17		eqid 2139	. . . . . . . 8 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) = ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) )
18		breq1 3932	. . . . . . . . . 10 |- ( x = q -> ( x # 0 <-> q # 0 ) )
19	18	elrab 2840	. . . . . . . . 9 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( q e. CC /\ q # 0 ) )
20		recclap 8439	. . . . . . . . 9 |- ( ( q e. CC /\ q # 0 ) -> ( 1 / q ) e. CC )
21	19, 20	sylbi 120	. . . . . . . 8 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } -> ( 1 / q ) e. CC )
22	17, 21	fmpti 5572	. . . . . . 7 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) : { x e. CC | x # 0 } --> CC
23		breq1 3932	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( x # 0 <-> a # 0 ) )
24	23	elrab 2840	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( a e. CC /\ a # 0 ) )
25		eqid 2139	. . . . . . . . . . . 12 |- (inf ( { 1 , ( ( abs ` a ) x. b ) } , RR , < ) x. ( ( abs ` a ) / 2 ) ) = (inf ( { 1 , ( ( abs ` a ) x. b ) } , RR , < ) x. ( ( abs ` a ) / 2 ) )
26	25	reccn2ap 11082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. CC /\ a # 0 /\ b e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) )
27	26	3expa 1181	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. CC /\ a # 0 ) /\ b e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) )
28	24, 27	sylanb 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ b e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) )
29		ovres 5910	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) = ( a ( abs o. - ) w ) )
30		elrabi 2837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> a e. CC )
31		elrabi 2837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } -> w e. CC )
32		eqid 2139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
33	32	cnmetdval 12698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. CC /\ w e. CC ) -> ( a ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( a - w ) ) )
34		abssub 10873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. CC /\ w e. CC ) -> ( abs ` ( a - w ) ) = ( abs ` ( w - a ) ) )
35	33, 34	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. CC /\ w e. CC ) -> ( a ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( w - a ) ) )
36	30, 31, 35	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( a ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( w - a ) ) )
37	29, 36	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) = ( abs ` ( w - a ) ) )
38	37	breq1d 3939	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u <-> ( abs ` ( w - a ) ) < u ) )
39	24	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> a # 0 )
40	30, 39	recclapd 8541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> ( 1 / a ) e. CC )
41		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = a -> ( 1 / q ) = ( 1 / a ) )
42	41, 17	fvmptg 5497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ ( 1 / a ) e. CC ) -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) = ( 1 / a ) )
43	40, 42	mpdan 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) = ( 1 / a ) )
44		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = w -> ( x # 0 <-> w # 0 ) )
45	44	elrab 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
46	45	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } -> w # 0 )
47	31, 46	recclapd 8541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } -> ( 1 / w ) e. CC )
48		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = w -> ( 1 / q ) = ( 1 / w ) )
49	48, 17	fvmptg 5497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. { x e. CC | x # 0 } /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) = ( 1 / w ) )
50	47, 49	mpdan 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { x e. CC | x # 0 } -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) = ( 1 / w ) )
51	43, 50	oveqan12d 5793	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) = ( ( 1 / a ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) )
52	32	cnmetdval 12698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 / a ) e. CC /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( ( 1 / a ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / w ) ) ) )
53		abssub 10873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 / a ) e. CC /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( 1 / a ) - ( 1 / w ) ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) )
54	52, 53	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 1 / a ) e. CC /\ ( 1 / w ) e. CC ) -> ( ( 1 / a ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) )
55	40, 47, 54	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( 1 / a ) ( abs o. - ) ( 1 / w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) )
56	51, 55	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) = ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) )
57	56	breq1d 3939	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b <-> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) )
58	38, 57	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ w e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) <-> ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) ) )
59	58	ralbidva 2433	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> ( A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) <-> A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) ) )
60	59	rexbidv 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. { x e. CC | x # 0 } -> ( E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) <-> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) ) )
61	60	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ b e. RR+ ) -> ( E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) <-> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( abs ` ( w - a ) ) < u -> ( abs ` ( ( 1 / w ) - ( 1 / a ) ) ) < b ) ) )
62	28, 61	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. { x e. CC | x # 0 } /\ b e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) )
63	62	rgen2 2518	. . . . . . 7 |- A. a e. { x e. CC | x # 0 } A. b e. RR+ E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b )
64		cnxmet 12700	. . . . . . . . 9 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
65		xmetres2 12548	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ { x e. CC | x # 0 } C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) e. ( *Met ` { x e. CC | x # 0 } ) )
66	64, 11, 65	mp2an 422	. . . . . . . 8 |- ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) e. ( *Met ` { x e. CC | x # 0 } )
67		eqid 2139	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) )
68		eqid 2139	. . . . . . . . . . . 12 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) )
69	67, 7, 68	metrest 12675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ { x e. CC | x # 0 } C_ CC ) -> ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) ) )
70	64, 11, 69	mp2an 422	. . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t { x e. CC | x # 0 } ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) )
71	10, 70	eqtri 2160	. . . . . . . . 9 |- K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) )
72	71, 7	metcn 12683	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) e. ( *Met ` { x e. CC | x # 0 } ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) -> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) e. ( K Cn J ) <-> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) : { x e. CC | x # 0 } --> CC /\ A. a e. { x e. CC | x # 0 } A. b e. RR+ E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) ) ) )
73	66, 64, 72	mp2an 422	. . . . . . 7 |- ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) e. ( K Cn J ) <-> ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) : { x e. CC | x # 0 } --> CC /\ A. a e. { x e. CC | x # 0 } A. b e. RR+ E. u e. RR+ A. w e. { x e. CC | x # 0 } ( ( a ( ( abs o. - ) |` ( { x e. CC | x # 0 } X. { x e. CC | x # 0 } ) ) w ) < u -> ( ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` a ) ( abs o. - ) ( ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) ` w ) ) < b ) ) )
74	22, 63, 73	mpbir2an 926	. . . . . 6 |- ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) e. ( K Cn J )
75	74	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( q e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / q ) ) e. ( K Cn J ) )
76		oveq2 5782	. . . . 5 |- ( q = z -> ( 1 / q ) = ( 1 / z ) )
77	9, 14, 16, 14, 75, 76	cnmpt21 12460	. . . 4 |- ( T. -> ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( 1 / z ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
78	7	mulcncntop 12723	. . . . 5 |- x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
79	78	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
80	9, 14, 15, 77, 79	cnmpt22f 12464	. . 3 |- ( T. -> ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y x. ( 1 / z ) ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
81	80	mptru 1340	. 2 |- ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y x. ( 1 / z ) ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J )
82	6, 81	eqeltri 2212	1 |- ( y e. CC , z e. { x e. CC | x # 0 } |-> ( y / z ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   T. wtru 1332   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   {crab 2420   C_ wss 3071   {cpr 3528   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   X. cxp 4537   |` cres 4541   o. ccom 4543   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776  infcinf 6870   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   x. cmul 7625   < clt 7800   - cmin 7933   # cap 8343   / cdiv 8432   2c2 8771   RR+crp 9441   abscabs 10769   ↾_t crest 12120   *Metcxmet 12149   MetOpencmopn 12154  TopOnctopon 12177   Cn ccn 12354   tX ctx 12421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740  ax-mulf 7743

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-rest 12122  df-topgen 12141  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-met 12158  df-bl 12159  df-mopn 12160  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-cn 12357  df-cnp 12358  df-tx 12422

This theorem is referenced by: (None)