Theorem djuenun 7068

Description: Disjoint union is equinumerous to union for disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djuenun	|- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> ( A ⊔ C ) ~~ ( B u. D ) )

Proof of Theorem djuenun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuen 7067	. . 3 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D ) -> ( A ⊔ C ) ~~ ( B ⊔ D ) )
2	1	3adant3 1001	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> ( A ⊔ C ) ~~ ( B ⊔ D ) )
3		relen 6638	. . . 4 |- Rel ~~
4	3	brrelex2i 4583	. . 3 |- ( A ~~ B -> B e. _V )
5	3	brrelex2i 4583	. . 3 |- ( C ~~ D -> D e. _V )
6		id 19	. . 3 |- ( ( B i^i D ) = (/) -> ( B i^i D ) = (/) )
7		endjudisj 7066	. . 3 |- ( ( B e. _V /\ D e. _V /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> ( B ⊔ D ) ~~ ( B u. D ) )
8	4, 5, 6, 7	syl3an 1258	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> ( B ⊔ D ) ~~ ( B u. D ) )
9		entr 6678	. 2 |- ( ( ( A ⊔ C ) ~~ ( B ⊔ D ) /\ ( B ⊔ D ) ~~ ( B u. D ) ) -> ( A ⊔ C ) ~~ ( B u. D ) )
10	2, 8, 9	syl2anc 408	1 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> ( A ⊔ C ) ~~ ( B u. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   u. cun 3069   i^i cin 3070   (/)c0 3363   class class class wbr 3929   ~~ cen 6632   ⊔ cdju 6922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-dju 6923  df-inl 6932  df-inr 6933

This theorem is referenced by:  dju1en  7069  djucomen  7072  djuassen  7073  xpdjuen  7074