Theorem dmmptd 5253

Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmptd.a	|- A = ( x e. B |-> C )
dmmptd.c	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. V )

Assertion

Ref	Expression
dmmptd	|- ( ph -> dom A = B )

Distinct variable groups:   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   C( x)   V( x)

Proof of Theorem dmmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmptd.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. V )
2	1	elexd 2699	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. _V )
3	2	ralrimiva 2505	. . 3 |- ( ph -> A. x e. B C e. _V )
4		rabid2 2607	. . 3 |- ( B = { x e. B | C e. _V } <-> A. x e. B C e. _V )
5	3, 4	sylibr 133	. 2 |- ( ph -> B = { x e. B | C e. _V } )
6		dmmptd.a	. . 3 |- A = ( x e. B |-> C )
7	6	dmmpt 5034	. 2 |- dom A = { x e. B | C e. _V }
8	5, 7	syl6reqr 2191	1 |- ( ph -> dom A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   {crab 2420   _Vcvv 2686   |-> cmpt 3989   dom cdm 4539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552

This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  12815